洛谷 P1031 [NOIP 2002 提高组] 均分纸牌

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#算法 #模拟 #贪心算法

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题目描述

有 N 堆纸牌，编号分别为 1,2,…,N。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N−1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 N=4 时，4 堆纸牌数分别为 9,8,17,6。

移动 3 次可达到目的：

从第三堆取 4 张牌放到第四堆，此时每堆纸牌数分别为 9,8,13,10。
从第三堆取 3 张牌放到第二堆，此时每堆纸牌数分别为 9,11,10,10。
从第二堆取 1 张牌放到第一堆，此时每堆纸牌数分别为 10,10,10,10。

输入格式

第一行共一个整数 N，表示纸牌堆数。
第二行共 N 个整数 A1,A2,…,AN，表示每堆纸牌初始时的纸牌数。

输出格式

共一行，即所有堆均达到相等时的最少移动次数。

输入输出样例

输入 #1

4
9 8 17 6

输出 #1

说明/提示

对于 100% 的数据，1≤N≤100，1≤Ai≤10000。

【题目来源】

NOIP 2002 提高组第一题

题目理解

首先，我们需要清楚地理解题目要求。题目描述如下：

有N堆纸牌，编号分别为1,2,...,N。每堆上有若干张纸牌，但纸牌总数必为N的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动到相邻的堆上。要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆纸牌数相同。

关键点分析

纸牌总数是N的倍数：这意味着我们可以计算出每堆纸牌应该有多少张（平均数）。
移动规则：只能从一堆移动到相邻的堆，每次移动可以移动任意张数。
目标：找到移动次数最少的方案。

解题思路

基本思想

这道题可以使用贪心算法来解决。贪心算法的核心思想是：在每一步选择中，都采取当前状态下最优的选择，从而希望导致结果是全局最优的。

具体步骤

计算平均数：首先计算所有堆的平均值，即每堆最终应该有的纸牌数。
从左到右处理：对于每一堆纸牌，计算它与平均数的差值，并将这个差值传递给右边的堆（即移动纸牌）。
统计移动次数：每次传递（移动）都算作一次移动操作。

为什么贪心算法有效

因为题目允许我们只能向相邻的堆移动纸牌，所以从左到右（或从右到左）依次处理可以确保每次移动都是必要的，并且不会产生多余的移动。每一步都使当前堆达到平均数，然后将多余的或不足的部分传递给下一个堆。

代码实现

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n;  // 纸牌的堆数
    cin >> n;
    
    vector<int> cards(n);  // 存储每堆纸牌的数量
    int total = 0;         // 纸牌总数
    
    // 输入每堆纸牌的数量并计算总数
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> cards[i];
        total += cards[i];
    }
    
    int avg = total / n;  // 计算每堆应该有的纸牌数
    int moves = 0;        // 记录移动次数
    
    // 从左到右处理每一堆纸牌
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        if (cards[i] != avg) {
            // 计算需要移动的纸牌数
            int diff = cards[i] - avg;
            // 将多余的或不足的纸牌移动到右边相邻的堆
            cards[i + 1] += diff;
            // 移动次数加1
            moves++;
        }
    }
    
    // 输出最少移动次数
    cout << moves << endl;
    
    return 0;
}

代码详细解析

变量定义

n：纸牌的堆数。
cards：一个动态数组，用于存储每堆纸牌的数量。
total：所有纸牌的总数。
avg：每堆纸牌应该达到的平均数。
moves：记录移动的次数。

输入处理

首先读取纸牌的堆数n，然后读取每堆纸牌的数量并存储在cards数组中，同时计算纸牌的总数total。

计算平均数

通过total / n计算每堆纸牌应该达到的平均数avg。

贪心处理

从第一堆开始，依次处理每一堆纸牌：

如果当前堆的纸牌数不等于平均数，计算差值diff。
将这个差值加到右边相邻的堆上（相当于移动纸牌）。
每次移动操作都会使moves加1。

输出结果

最后输出最少的移动次数moves。

示例分析

假设输入如下：

text

4
9 8 17 6

计算步骤

计算总数：9 + 8 + 17 + 6 = 40。
平均数：40 / 4 = 10。
处理每一堆：
- 第一堆：9 - 10 = -1，需要从第二堆移动1张到第一堆。移动后：10, 7, 17, 6。moves = 1。
- 第二堆：7 - 10 = -3，需要从第三堆移动3张到第二堆。移动后：10, 10, 14, 6。moves = 2。
- 第三堆：14 - 10 = 4，需要移动4张到第四堆。移动后：10, 10, 10, 10。moves = 3。
输出结果：3。