数据结构学习——红黑树

数据结构学习记录DAY12（大概） :红黑树 RBtree

• 平衡二叉树的左右高度差不能超过一，这个条件过于苛刻。

• 红黑树（大致平衡的二叉排序树）的特点

  • 最长路径<2*最短路径，放松了对平衡的限制，但是能确保杀入删除查找的时间复杂度在Olog₂n

    我们不是从零创造红黑树，我们是通过学习既有模型了解性质加以使用，因此我们用一个经典模型展示借以描述红黑树的特点。

    由此可以引出红黑树的五条规则：

- 每一结点非红即黑

- 根结点必定是黑色

- 一条路径上的红色节点不能连续（黑色可以）

- 所有的叶子结点视为null都为黑色

- 从任意一个结点出发，到其所有叶子结点路径上的黑色结点的数量必须相等

有这五条规则，就可以开始写一棵红黑树了（大雾

其实是就可以开始探究红黑树的插入和删除了，因为红黑树的其他操作和平衡二叉排序树是一样的。

但是由于红黑树加入了限制，所以在插入和删除的操作上会相当复杂。

• 红黑树的插入

  • 插入规则：每次插入都是红色的（若插入的位置是一个红色的结点，则会破坏红红的规则）
    • 为什么会是这样的插入规则呢？因为从根结点出发，到叶子结点如果有m条路径，插入之后在其中一条路径上增加一个黑色结点，剩下的m-1条路径都无法使其增加黑色的结点。相较于对m-1条路径进行操作，破坏红-红规则带来的后果显然会好处理很多
  • 插入需要修复的情况：

    • 变色：有叔叔结点，则向上变色（插入在左子树或右子树效果相同
      -

      • 父结点和叔叔结点都为红色的，则父叔染黑爷爷染红
        

      • 对爷爷结点向上讨论，若爷爷为根则变黑
        -

      • 网上找相关内容的时候也看见有说会把新结点染黑再将父节点染红，个人觉得可以有，但不是非得有

    • 旋转：没有叔叔结点，旋转后变色

      • RR型 ： 父在爷爷右边，当前结点在爷爷右边
        -

        • 对爷左旋，原来的父染黑爷染红，
          

      • LL型 ： 父在爷爷左边，当前结点在爷爷左边

        • （与RR型对称，就不图示了）对爷右旋，父黑爷红，

      • LR型 ： 子在爷爷左边，又在父亲右边
        -

        • 对父左旋， 对爷右旋，爷染红子染黑
          -

      • RL型 ： 子在爷爷右边，又在父亲左边

        • 对父右旋， 对爷左旋，爷红子黑

    • 最多需要两次旋转，和log₂n次 的颜色变化。

• 红黑树的删除

  • 删除的结点没有子节点
    • 删除的结点为黑色：需要进一步考虑修复平衡
    • 红色：直接删除即可
  • 删除的结点只有一个子节点
    • 其子结点一定是红色的，用红色子结点替换要删除的结点，然后把那个结点染黑；
  • 删除的结点有两个子节点
    • 找左子树最大值替换当前元素
    • 转换成以上两种情况

• 修复需要考虑的

  • 删除了黑色结点 到这条路径上的黑色节点少了一个，解决冲突在于能否找到一个红色结点经过旋转 染色 把它替换被删除的黑色的结点

  • 有以下几种情况：

    • 兄弟结点为红色，父亲和以及侄子都为黑色
    • 如下图删除结点：7
      -

    1、先删除该节点（路径上的黑少了1，需要修补）

    

    2、兄弟结点左旋

    3、兄弟结点染成原本父亲结点的黑色，父亲结点染红

    4、对原来的父亲结点进行左旋

    5、染色，结束

- 兄弟结点为黑色：

    - 兄弟的孩子为黑

    * 若父结点为红      父染黑    兄弟染红即可 结束 

    详细情况如图中删除70号

    1、先寻找左子树中最大的元素，替换要删除的元素，如左子树中最大元素为红色的，则完成，若为黑色就看例子2

    删除75：

    1、取左子树中最大值替换

    2、替换后乍看好像完美了，但是有一条规则“所有的叶子结点视为null都为黑色”

    所以此时不满足，需要将78结点置为红

    3、将兄弟节点50染红，父亲结点61染黑即可

    * 若父结点为黑       兄弟染红      以父结点当作删除的结点继续向上讨论

    

    - 兄弟的孩子不全为黑
    - 远端侄子为黑  (近端为红)     近端侄子染黑    兄弟染红  对兄弟进行旋转，使得远端侄子为红

    图解（以删除28号结点为例）:

    1、没有子树就直接干掉，有就从左子树找最大值，或者直接将右子树接上

    2、兄弟左旋

    3、近端侄子染黑

    4、此处情况特殊，需要右旋25，然后染黑20

    - 远端侄子为红         对父结点进行旋转        兄弟结点置成父结点的颜色    远端侄子和父结点置黑即可
    - 图解（以删除25号结点为例）：

    1、左子树最大值替换

    2、右孩子置为红

    3、父结点左旋

    4、兄弟结点置成父结点的颜色（黑色）    远端侄子（75）和父结点置黑即可

总结

• 插入

  • 插入的结点为红色
  • 插入需要解决 红+红
    • 通过染色 父 + 叔 为红 父和叔染黑 祖父染红 继续向上讨论
    • 通过旋转 叔为黑
      • 自己 和 父 处于同一边 再通过祖父旋转，让祖父(黑色的结点)到另外一边，少了一个黑色结点 把父结点变成黑色的 到达插入位置结点黑色的结点不变， 另外一边由于多了一个黑色结点(父结点旋转为公共路径上的结点) 把祖父结点(旋转到另外一边)置红，用于抵消公共路径上黑色结点的增加

• 删除

  • 只有删除黑色叶子结点 修复
  • 因为删除黑色结点 导致到该路径上的黑色结点减少
    • 借 只有当有红色结点时才有可能借 必须是远端侄子为红
      • 兄弟为红(侄子为黑) 通过旋转 让近端侄子变为兄弟
      • 只有兄弟为黑，侄子才有可能为红
      • 只有当远端侄子为红时，才能过旋转，让兄弟结点到公共的路径上(兄弟黑的，弥补删除时删除了一个黑色的结点)，删除结点的那边会少出一个黑色结点 ，让远端红色的侄子变成黑色的 （需要注意的是兄弟结点需要染成原来父结点的颜色，在实际中，父结点染黑，远端侄子染黑）
    • 一水黑 （全都为黑) 使左右各少一个黑色结点 再对父结点向上讨论

红黑树的应用

• C++ map/set/multiset/multimap 底层的实现就是红黑树
• JAVA TreeSet/TreeMap 底层实现也是红黑树
• 进程管理 Task任务用红黑树存储的
• 数据库 索引 红黑树实现的
• 多路复用IO epoll

以上！

希望能给你一点帮助