单因素方差分析

方差分析概述

　　方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各因素效应显著性的一种有效方法。一方面分析各种因素对结果的影响，另一方面分析各个因素下，不同的水平对试验结果的影响。前者造成的差异叫条件误差，后者造成的差异叫随机误差。
　　如果条件误差与随机误差大小差不多，说明条件变化（因素类型）对试验结果影响不明显；如果条件误差比随机误差大得多，则有理由认为条件的变化对试验结果又显著影响。对误差分解的方法，就是方差分析的基本思想。
　　只考虑一个因素对试验结果的影响叫做单因素分析。

单因素方差分析

　单因素方差分析只考察一个因素的变动对试验结果的影响。

　如下就是单因素3个水平，其中每种水平对应不同的值。因此，得到数据集，在某个特征 | 属性下进行分组是有必要的。在同一个水平下的误差称为随机误差，在不同水平下的误差称为条件误差。

水平	值
$A_1$	1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780
$A_2$	1500 1640 1400 1700 1750
$A_3$	1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800

１.数学模型

　 将水平$A_i$ 下的试验结果$x_{i1},x_{i2}......,x_{in}$ 看做第$i$ 个正太总体$X_{i}$ ~ $N(\mu,\sigma^2)$ 的观测值，其中参数$\mu,\sigma^2$ 均未知，每个总体相互独立。
　
　 比较因素$A$的$r$ 个水平之间的差异归结为比较这$r$ 个总体的均值$\mu$。即检验假设：
　
　 $H_0$:$\mu_1$=$\mu_2$=……=$\mu_n$ ， $H_1$:$\mu_1$,$\mu_2$……$\mu_n$ 不全相等。

　如果$H_0$ 被拒绝，，则说明因素$A$ 个个水平的效应之间有显著性差异；否则差异不明显.

2.方差分析

离差平方和分解
　
　$S_T=S_A+S_E$ ——总离差平方和
　$S_A$——因素A的效应离差平方和或组间离差平方和
　$S_E$——随机误差对考察指标总的影响

　当假设$H_0$成立时，$F_A$~$F_\alpha(s-1,n-s)$。
　对给定的显著性水平$\alpha$,用$F_\alpha(s-1,n-s)$表示$F$分布的上$\alpha$分位点。若$F_A$>$F_\alpha(s-1,n-s)$,则拒绝原假设，认为因素$A$的$r$个水平有显著差异。也可以计算P值来决定是否接受原假设，$p=P${$F_\alpha(s-1,n-s)>F_A$}，$p$值小于$\alpha$等价于$F_A$>$F_\alpha(s-1,n-s)$。
　可以通过图像来理解。
　如果$F_\alpha$ <$F$，即没有出现在左侧，拒绝$H_0$.因此，$F_A$越小越好，对假设成立越有利。