浮点数规范（IEEE754）

  本文主要参考《IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic》

看多几次就懂了，主要看它的表示形式和转换公式。

1. Floating-point formats

浮点数格式

1.1 Specification levels

规范等级

  浮点算术是对于实际算术的系统近似，如表1.1所示。浮点算术只能表示连续实数的一个有限子集。因此对于实数的某些属性（例如加法结合律（associativity of addition）），并不总是适用于浮点算术。

表1.1 规范化等级及其格式

Level 1	{ − ∞    …    0    …    + ∞ } \{-\infty \; \ldots \; 0 \; \ldots\; +\infty\} {−∞…0…+∞}	扩展实数
多对一 ↓↓	舍入 ↓↓	↑↑ 映射（除了NaN）
Level 2	{ − ∞ … − 0 }    ⋃    { + 0 … + ∞ }    ⋃ \{-\infty \ldots -0 \}\; \bigcup \; \{+0 \ldots +\infty \} \; \bigcup {−∞…−0}⋃{+0…+∞}⋃ NaN	浮点数据 - - 代数封闭的系统
一对多 ↓↓	规范化表示 ↓↓	↑↑ 多对一
Level 3	( s i g n , e x p o n e n t , s i g n i f i c a n d )    ⋃    { − ∞ , + ∞ }    ⋃ (sign, exponent, significand) \; \bigcup \; \{-\infty,+\infty \} \; \bigcup (sign,exponent,significand)⋃{−∞,+∞}⋃ qNaN $\bigcup$ sNaN	浮点数据的表示
一对多 ↓↓	浮点数据的编码表示↓↓	↑↑ 多对一
Level 4	$0111000\dots$	比特字符串（Bit strings）

   在该标准中，支持算术的数据格式是扩展实数，即实数集以及正负无穷（ { − ∞ … 0 … + ∞ } \{-\infty \ldots 0 \ldots+\infty\} {−∞…0…+∞}）。对于给定的格式，舍入过程（见后面第?节）将扩展的实数映射到该格式中的浮点数。浮点数据可以是带符号的零，有限的非零数字，带符号的无穷大或NaN，可以以一种格式映射到一个或多个浮点数据表示形式。

   浮点数据的表示格式（就是Level 3）包括以下3大部分：

1. 三元组$(sign,exponent,significand)$； 对于基数$b$，用三元组表示的浮点数就是 $(-1{)}^{sign}\times b^{exponent}\times significand$
2. $-\infty ,+\infty$
3. qNaN（quiet，不抛异常），sNaN（signaling，抛异常）

  “浮点数的编码”将浮点数据的表示映射为比特字符串。“编码”可能会将一些浮点数据映射到多个比特字符串。应该使用多个NaN比特字符串来存储回顾性诊断信息（见后面第?节）。

1.2 Sets of floating-point data

浮点数据集

  有限的浮点数集合可以用特定的格式表示，由以下整数参数决定:

• $b$：基数，2或者10。
• $p$：$significand$（有效位）中数字的个数。（precision精度）
• $emax$：最大指数$e$
• $emin$：最小指数$e$， 对于所有格式，$emin$ 应为 $1-emax$

   对于每种基础格式，以上参数的值都在表1.2中给出了。

表1.2

	二进制格式（b=2）			十进制格式（b=10）
参数	二进制32位	二进制64位	二进制128位	十进制64位	十进制128位
p	24	53	113	16	34
emax	+127	+1023	+16383	+384	+6144

   浮点数据表示形式：

============================（1）============================

• 有符号和非零的浮点数格式为 $(-1{)}^s\times b^e\times m$ ，其中
  • $s$是0或者1
  • $e$是任意整数，$emin⩽e⩽emax$
  • $m$是一个数字（小数），用一个比特字符串表示，该字符串格式如下：
    $d_0.d_1{d}_2...d_{p-1}$，其中$d_i$是一个整数数字满足$0⩽d_i<b$（因此$0⩽m<b$）
• 两个无限值，$+\infty$和$-\infty$
• 两个 NaNs，qNaN和sNaN

在上述描述中，符号$m$被视为一种科学形式，小数点紧接在第一个数字之后。

============================（2）============================
为了某些目的，把 $significand$ 看作一个整数也很方便，当 $m$ 为整数时(各种进制的整数)：

• 有符号和非零的浮点数格式为 $(-1{)}^s\times b^q\times c$ ，其中
  • $s$是0或者1
  • $q$是任意整数，$emin⩽q+p-1⩽emax$
  • $c$是一个数字，用一个比特字符串表示，该字符串格式如下：
    $d_0{d}_1{d}_2...d_{p-1}$，其中$d_i$是一个整数数字满足$0⩽d_i<b$（因此$c$是一个整数，$0⩽c<b^p$）

这种描述把 $significand$ 当做一个整数 $c$，对应的 $exponent$ 为 $q$。（对于有限浮点数，$e=q+p-1$，$m=c\times b^{1-p}$）

  最小的正normal（正规数）浮点数是 $b^{emin}$ ，最大的是 $b^{emax}\times (b-b^{1-p})$ 。对于这种格式化的非零浮点数，量级小于$b^{emin}$的被称为subnormal（次正规数），因为它的量级在零和最小正规数的量级之间。他们的有效位数（$significand$ digits）通常比 $p$ 要少。每一个有限浮点数字都是最小次正规数的整数倍 $b^{emin}\times b^{1-p}$。

  对于值为0的浮点数，符号位 $s$ 提供了额外的信息位。尽管所有格式对 $+0$ 和 $-0$ 都有不同的表示，但 $0$ 的符号在某些情况下很重要，比如 $0$ 除以xxx，但在其他情况下则不重要(后面再讲)。二进制转换格式对于 $+0$ 和 $-0$ 只有一种表示，但是十进制格式有很多。在此标准中，当符号不重要时，$0$ 和 $\infty$ 不带符号。

1.3 Binary interchange format encodings

浮点数据的“二进制转换格式”编码

  每个浮点数只有一种二进制交换格式的编码。为了使编码具有唯一性，对于1.2中的参数，通过减小 $e$ 使有效位（significand）$m$ 的值最大化，直到 $e=emin$ 或 $m⩾1$。这个过程完成后，如果 $e=emin$ 且 $0<m<1$ ，则浮点数为次正规数（subnormal）。次正规数（以及零）用一个表留的偏置指数值来编码。（Subnormal numbers (and zero) are encoded with a reserved biased exponent value）

  浮点数的二进制形式由 $k$ 个比特的编码表示，主要有3个部分：

1. 1个比特，符号位S
2. w个比特，偏置的指数（biased exponent），$E=e+bias$
3. （t=p-1）个比特，尾部有效位（trailing significand field）数字字符串 $T=d_1{d}_2...d_{p-1}$ ；

图1.1 浮点数的编码

  二进制转换格式的 $k,p,t,w,bias$ 的值如表1.3所示

表1.3 二进制交换格式的参数

参数	二进制16位	二进制32位	二进制64位	二进制128位	二进制$k$位 $(k⩾128)$
$k$，数据宽度	16	32	64	128	32的倍数
$p$，精度	11	24	53	113	$k-round(4\times lo{g}_2(k))+13$
$emax$，指数$e$的最大值	15	127	1023	16383	$2^{(k-p-1)}-1$
–	–	–	–	–	–
$bias$，$E-e$	15	127	1023	16383	$emax$
符号位	1	1	1	1	1
$w$，指数位的宽度	5	8	11	15	$round(4\times lo{g}_2(k))-13$
$t$，尾部有效位的宽度	10	23	52	112	$k-w-1$
$k$，数据宽度	16	32	64	128	$1+w+t$

这里$round$表示四舍五入

指数项 $E$ 具有关键作用(决定了浮点数的性质，以及计算公式)
性质：
（1） 当 $E\in [1,2^w-2]$ 时，用于编码规范数（normal numbers）
（2） 当 $E=0$ 时，用于编码 $\pm 0$ 和次规范数（subnormal numbers）
（3） 当 $E=2^w-1$ 时，用于编码 $\pm \infty$ 和 NaNs

计算公式：
（ $r$ 是浮点数据的表示形式 ， $v$ 是浮点数据代表的值）：

（a） 如果 $E=2^w-1$，并且 $T\ne 0$
则 $r$ 就是 qNaN 或者 sNaN，$v$ 就是 NaN（无论符号位）

（b） 如果 $E=2^w-1$，并且 $T=0$
则 $r$ 和 $v$ 都是 $(-1{)}^S\times (+\infty )$

（c） 如果 $1⩽E⩽2^w-2$   （这种情况居多）
则 $r$ 就是 $(S,(E-bias),(1+2^{1-p}\times T))$，$v=(-1{)}^S\times 2^{E-bias}\times (1+2^{1-p}\times T)$

（d） 如果 $E=0$，并且 $T\ne 0$
则 $r$ 就是$(S,emin,(0+2^{1-p}\times T))$，$v=(-1{)}^S\times 2^{emin}\times (0+2^{1-p}\times T)$

（e） 如果 $E=0$，并且 $T=0$
则 $r$ 就是$(S,emin,0)$， $v=(-1{)}^S\times (+0)$

注意， 当$k$是64或以上（32的倍数）时，各参数满足下列公式：
$k=1+w+t=w+p=32\times ceiling((p+round(4\times lo{g}_2(p+round(4\times lo{g}_2(p))-13))-13)/32)$
$w=k-t-1=k-p=round(4\times lo{g}_2(k))-13$
$t=k-w-1=p-1=k-round(4\times lo{g}_2(k))+12$
$p=k-w=t+1=k-round(4\times lo{g}_2(k))+13$
$emax=bias=2^{(w-1)}-1$
$emin=1-emax=2-2^{(w-1)}$

1.4 Decimal interchange format encodings

十进制转换格式编码

有空再说

1.5 Extended and extendable precisions

扩展的和可扩展的精度

有空再说

2. 举个例子

有几个格式转换的网站可以参考
(1): https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html
(2): http://www.styb.cn/cms/ieee_754.php
(3): http://weitz.de/ieee/

2.1 编码的浮点数转十进制小数

  假设内存中存了一个32位浮点数，十六进制：0x40680000，二进制：01000000011010000000000000000000
  图示如下：

根据上面的表1.3可得32位二进制浮点数的参数：
$p=24$，$bias=127$，$w=8$，$t=23$

这里$E$是二进制的10000000，即十进制的128，满足$1⩽E⩽2^w-2$，可以套公式(c)：$v=(-1{)}^S\times 2^{E-bias}\times (1+2^{1-p}\times T)$

即$v=(-1{)}^0\times 2^{128-127}\times (1+2^{1-24}\times 11010000000000000000000)$

由于这里是二进制，乘以$2^n$就是小数点向右移动$n$个位，若$n$是负数则向左移动$n$个位。

于是$v=1\times 2\times (1+0.101)=1\times 2\times (1.1101)=11.101$

再转为十进制：$v=1\cdot 2^1+1\cdot 2^0+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=3.625$

结果是3.625

2.2 十进制小数转为二进制浮点数编码

现在有一个十进制的小数13.78125 ，要转成32位的二进制浮点数编码。
先看整数部分：

$13÷2=6$ 余 1
$6÷2=3$ 余 0
$3÷2=1$ 余 1
$1÷2=0$ 余 1

因此整数部分二进制为1101

再看小数部分：
$0.78125\times 2=1.5625$，整数部分1
$0.5625\times 2=1.125$，整数部分1
$0.125\times 2=0.25$，整数部分0
$0.25\times 2=0.5$，整数部分0
$0.5\times 2=1$，整数部分1

因此小数部分为11001，所以13.78125的二进制表示是1101.11001

再看格式转换：

根据浮点数表示形式(1) ：$(-1{)}^s\times b^e\times m$，把二进制小数用该形式表示：

$1101.11001=(-1{)}^0\times 2^3\times 1.10111001$

得：$S=$ 0，$e=3$，$m=1.10111001$

查表1.3得32位的浮点数的参数：$p=24$，$bias=127$，$w=8$，$p=24$

由 $bias=E-e$ 得：$E=bias+e=127+3=130$，$E$ 的二进制值为：10000010

由于 $E$ 符合 $1⩽E⩽2^w-2$ ，可以套公式(c)：

$1101.11001=(-1{)}^S\times 2^{E-bias}\times (1+2^{1-p}\times T)$
$=(-1{)}^0\times 2^{130-127}\times (1+2^{1-24}\times 10111001000000000000000)$

所以 $T=$ 10111001000000000000000

$S$、$E$、$T$ 都算出来了，由图1.1得32位二进制结果：01000001010111001000000000000000