结构风险最小化

经验风险最小化与结构风险最小化浅析 最近在学习支持向量机,对经验风险最小化与结构风险最小化不是很了解,仔细研究后发现原来真的很简单。首先要了解一下几个概念。 置信风险: 分类器对 未知样本进行分类,得到的误差。 经验风险: 训练好的分类器,对训练样本重新分类得到的误差。即样本误差 结构风险:置信风险 + 经验风险 泛化误差界的公式为: R(w)≤Remp(w)+ϕ(h/n)R(w)≤Remp(w)+ϕ(h/n)  公式中R... 阅读详情
理论背景
    基于数据的机器学习是现代智能技术中的重要方面,研究从观测数据(样本)出发寻找规律,利用这些规律对未来数据或无法观测的数据进行预测。迄今为止,关于机器学习还没有一种被共同接受的理论框架,关于其实现方法大致可以分为三种:
    (1)第一种是经典的(参数)统计估计方法。包括模式识别、神经网络等在内,现有机器学习方法共同的重要理论基础之一是统计学。参数方法正是基于传统统计学的,在这种方法中,参数的相关形式是已知的,训练样本用来估计参数的值。这种方法有很大的局限性,首先,它需要已知样本分布形式,这需要花费很大代价,还有,传统统计学研究的是样本数目趋于无穷大时的渐近理论,现有学习方法也多是基于此假设。但在实际问题中,样本数往往是有限的,因此一些理论上很优秀的学习方法实际中表现却可能不尽人意。
    (2)第二种方法是经验非线性方法,如人工神经网络(ANN)。这种方法利用已知样本建立非线性模型,克服了传统参数估计方法的困难。但是,这种方法缺乏一种统一的数学理论。
    与传统统计学相比,统计学习理论(Statistical Learning Theory或SLT)是一种专门研究小样本情况下机器学习规律的理论。该理论针对小样本统计问题建立了一套新的理论体系,在这种体系下的统计推理规则不仅考虑了对渐近性能的要求,而且追求在现有有限信息的条件下得到最优结果。V. Vapnik等人从六、七十年代开始致力于此方面研究[1],到九十年代中期,随着其理论的不断发展和成熟,也由于神经网络等学习方法在理论上缺乏实质性进展,统计学习理论开始受到越来越广泛的重视。

VC维

    统计学习理论的一个核心概念就是VC维(VC Dimension)概念,它是描述函数集或学习机器的复杂性或者说是学习能力(Capacity of the machine)的一个重要指标,在此概念基础上发展出了一系列关于统计学习的一致性(Consistency)、收敛速度、推广性能(Generalization Performance)等的重要结论。

    支持向量机

    统计学习理论是建立在一套较坚实的理论基础之上的,为解决有限样本学习问题提供了一个统一的框架。它能将很多现有方法纳入其中,有望帮助解决许多原来难以解决的问题(比如神经网络结构选择问题、局部极小点问题等);同时,这一理论基础上发展了一种新的通用学习方法──支持向量机(Support Vector Machine或SVM),已初步表现出很多优于已有方法的性能。一些学者认为,SLT和SVM正在成为继神经网络研究之后新的研究热点,并将推动机器学习理论和技术有重大的发展。
    支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC维理论和结构风险最小原理基础上的,根据有限的样本信息在模型的复杂性(即对特定训练样本的学习精度,Accuracy)和学习能力(即无错误地识别任意样本的能力)之间寻求最佳折衷,以期获得最好的推广能力(Generalizatin Ability)。支持向量机方法的几个主要优点有:
    1>它是专门针对有限样本情况的,其目标是得到现有信息下的最优解而不仅仅是样本数趋于无穷大时的最优值;
    2>算法最终将转化成为一个二次型寻优问题,从理论上说,得到的将是全局最优点,解决了在神经网络方法中无法避免的局部极值问题;
    3>算法将实际问题通过非线性变换转换到高维的特征空间(Feature Space),在高维空间中构造线性判别函数来实现原空间中的非线性判别函数,特殊性质能保证机器有较好的推广能力,同时它巧妙地解决了维数问题,其算法复杂度与样本维数无关;
在SVM方法中,只要定义不同的内积函数,就可以实现多项式逼近、贝叶斯分类器、径向基函数(Radial Basic Function或RBF)方法、多层感知器网络等许多现有学习算法。
    统计学习理论从七十年代末诞生,到九十年代之前都处在初级研究和理论准备阶段,近几年才逐渐得到重视,其本身也趋向完善,并产生了支持向量机这一将这种理论付诸实现的有效的机器学习方法。目前,SVM算法在模式识别、回归估计、概率密度函数估计等方面都有应用。例如,在模式识别方面,对于手写数字识别、语音识别、人脸图像识别、文章分类等问题,SVM算法在精度上已经超过传统的学习算法或与之不相上下。

     VC 维在有限的训练样本情况下,当样本数 n 固定时,此时学习机器的 VC 维越高学习机器的复杂性越高。VC 维反映了函数集的学习能力,VC 维越大则学习机器越复杂(容量越大)。   
    所谓的结构风险最小化就是在保证分类精度(经验风险)的同时,降低学习机器的 VC 维,可以使学习机器在整个样本集上的期望风险得到控制

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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Yaroo
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