Knapsack Problem|背包问题

Knapsack Problem分为两种情况：

1. 0-1 Knapsack Problem, 既0-1背包问题。

2. Fractional Knapsack Problem, 既部分背包问题。

下面将分析这两种问题以便加深对此的理解。 

问题描述：一个人准备用一个最多能装W重量物品的包来装东西。东西总计有n个，其中第i个物品的重量是W[i]，价值是V[i]，问这个人最多能带价值多少的东西？

1. 0-1背包问题：在此类背包问题中，此人不能将物品分割为更小的部分。所以对于物品i，此人只能决定带走或者不带走（二元选择），而不能选择带走一部分。

2. 部分背包问题：在此类背包问题中，此人可以带走某物品的一部分，也就是说，物品可以被分割成更小的部分，而此人可以决定带走物品i的xi部分，0≤xi≤1。、

我们可以把0-1背包问题想象为一个人要带走一些贵金属块。而部分背包问题想象为一个人要带走一些贵金属沙。

对于0-1背包问题：

1.不存在贪婪选择性质（greedy choice property），因此不存在贪婪算法。

2.存在最优子结构（optimal substructure property）

3.存在相互重叠的子问题（overlapping subproblem）

所以0-1背包问题可以用动态规划的方法解决（Dynamic programming）。

对于部分背包问题：

1.存在贪婪选择性质

2.存在最优子结构

因此存在贪婪算法（Greedy algorrithm）

用v[1...n]和w[1...n]分别表示n件物品的价值和重量，W表示背包可以装的物品的总重量

I.首先看0-1背包问题

设S为背包可装重量为W时的最优解，i为这个最优解中的最大物品编号。那么S'=S-{i}是背包可装重量为W-w[i]时的最优解，最优解S对应的物品价值为v[i]加上子问题S'对应的物品总价值。

同时考虑到对于任意一件物品i，有两种可能性。(1):i被包含在问题的最优解中 (2):i没有被包含在最优解中。因此n件物品，W重量对应的最大价值是以下两种情况中较大的那个：

(1) n-1件物品，W重量对应的价值的最大值。（也就是说第n件物品没有被包含在最优解中）

(2) n-1件物品，W-w[n]重量对应的价值的最大值+v[n]。（也就是说第n件物品被包含在最优解中，需要解决的问题就变成了其子问题）

如果w[n]>W，则第n件物品