斐波那契数列

下面有彩蛋

题目描述

输入一个整数n，求斐波那契数列的第n项。
假定从0开始，第0项为0。$(n\le 39)$

样例

Input: n = 5
Output:  5

解题思路

• 普通思路

  • 描述

    使用递推+滚动变量的做法。

  • 实现代码：

    int F(int n)
    {
      	int tmp1 = 0, tmp2 = 1;
      	
     	// while循环条件比较巧妙，这样整个循环可以处理任意数的斐波那契数列值
     	while (n--)
     	{
     		// 递推赋值
     		tmp2 = tmp1 + tmp2;
     		tmp1 = tmp2 - tmp1;
     	}
     	return tmp1;
    }
    

  • 复杂度分析

    时间复杂度：$O(n)$

    ​ while循环n次

    空间复杂度： $O(2)\approx O(1)$

    ​ 使用两个临时变量tmp1和tmp2

• 中级思路

  • 描述

    使用递归的做法。

  • 实现代码

    int F(int n)
    {
      	if (n <= 0)
      	{
      		return 0;
      	}
      	if (n == 1)
      	{
      		return 1;
      	}
      	return F(n - 1) + F(n - 2);
    }
    

  • 复杂度分析

    时间复杂度：$O(n^2)$

    ​ 画出递归树，可知树深度为n，并且每一个节点含有两个子节点

    空间复杂度：$O(0)$

    ​ 没有使用辅助变量

• 高级思路

  • 描述

    使用矩阵运算 + 快速幂乘的做法。
    首先我们定义向量：

    $$X_n=\left[\begin{array}{cc}{a}_n& a_{n-1}\end{array}\right]，边界：X_1=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_0\end{array}\right]$$

    然后找出变换矩阵：

    $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

    则有：

    $$X_n=X_{n-1}\times A$$

    矩阵具有结合性，因此：

    $$X_n=X_1\times A^{n-1}$$

    那么任意求一个斐波那契数列值，主要是求取$A^{n-1}$。

  • 实现代码：

    //用于求解A * B = C
    void mulMatrix(int a[][2], int b[][2], int c[][2])
    {
    	int tmp[][2] = { {0,0},{0,0} };
    	for (int i = 0; i < 2; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < 2; j++)
    		{
    			for (int k = 0; k < 2; k++)
    			{
    				tmp[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
    			}
    		}
    	}
    
    	for (int i = 0; i < 2; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < 2; j++)
    		{
    			c[i][j] = tmp[i][j];
    		}
    	}
    }
    
    int F(int n)
    {
    	int x[2] = { 1,0 }; //边界值[1,1]
    	int a[2][2] = { {1,1},{1,0} }; //存储A
    
    	int res[][2] = { { 1,0 },{ 0,1 } }; //存储单位矩阵E
    	int t[2][2] = { { 1,1 },{ 1,0 } }; //主要用于表示
    
    	int k = n - 1; //表示乘方次数
    
    	//该循环获取A^(n-1)
    	while (k)
    	{
    		if (k&1) //表明k%2 == 1
    		{
    			mulMatrix(res, t, res);
    		}
    		mulMatrix(t, t, t);
    		k >>= 1;
    	}
    
    	return res[0][0] + res[0][1];
    
    }
    

  • 复杂度分析

    时间复杂度：$O(lo{g}^n)$

    快速幂乘需要$lo{g}^n$

    空间复杂度：$\approx O(1)$

    使用有限个数组

快速幂乘

原理(k 使用二进制表示，一定可以表示为 $2^i+\dots \dots +2^k$)：
$x^k=x^{2^i+\dots \dots +2^k}=x^{2^i}\times \dots \dots \times x^{2^k}$
使用一个变量存储$x^{2^i}$，另一个变量存储返回结果即可。

//求m^k % p
int quickMul(int m, int k, int p)
{
	int res = 1, t = m; // res存储结果，t存储x^i
	while (k)
	{
		if (k&1)
		{
			res = res * t % p;
		}
		t = t * t % p;
		k >>= 1;
	}
	return res;
}