2.二分

一、关于二分：

二分解决的题目类型为：输入若干数(最好是已经排序好的数，也就是有单调性)，查找指定的某一个数在这些数中的位置(包括起始位置和终止位置)。

二分的思想是找好边界。左端点l右端点r，中间点mid=(l+r)>>1，每次判断中间值是否满足性质，即mid和x(指定查找的一个数)的关系：如果mid比x大，说明x在mid的左边，也就是在区间[l,mid]中，把r换成了mid。如果mid比x小，说明x在mid的右边，也就是在区间[mid,r]中 。

二、看个题目了解一下

给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置（位置从0开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。
输入格式
第一行包含整数n和q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含n个整数（均在1~10000范围内），表示完整数组。
接下来q行，每行包含一个整数k，表示一个询问元素。
输出格式
共q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。
数据范围
1≤n≤100000
1≤n≤100000

1≤q≤10000
1≤q≤10000

1≤k≤10000
1≤k≤10000

样例
输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1

用二分去查找元素要求数组的有序性或者拥有类似于有序的性质，对本题而言，一个包含重复元素的有序序列，要求输出某元素出现的起始位置和终止位置，翻译一下就是：在数组中查找某元素，找不到就输出−1−1，找到了就输出不小于该元素的最小位置和不大于该元素的最大位置。所以，需要写两个二分，一个需要找到>=x的第一个数，另一个需要找到<=x的最后一个数。

查找不小于x的位置(起始位置)：

int l = 0, r = n - 1;//左右边界定义
while (l < r) {
    int mid = l + r >> 1;
    if (a[mid] < x)  l = mid + 1;//如果中间的元素比x要小，则x肯定在靠右边界的区域内，所以小于mid的区域不可能有x。
    else    r = mid;如果x小于中间的元素，那么肯定是在区域的左半段
}

当查找结束时，l与r相遇，l所在元素若是x则一定是x出现最小位置，因为l左边的元素必然都小于x。

查找不大于x的位置(终止位置)：

int l1 = l, r1 = n;//l为左边界，n为输入的数字个数
while (l1 + 1 < r1) { 
    int mid = l1 + r1 >> 1;
    if (a[mid] <= x)  l1 = mid; //x如果大于中间数字，肯定是在靠右边界的区域，所以左边界就变成mid
    else    r1 = mid; //反之有边界则会变成mid
} 

总的代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int n, q, x, a[maxn];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for (int i = 0; i < n; i++)    scanf("%d", &a[i]);
    while (q--) {
        scanf("%d", &x);
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (a[mid] < x)  l = mid + 1;//注意是mid+1，因为是小于而不是小于等于
            else    r = mid;
        }//判断不小于x的位置也就是起始位置
        if (a[l] != x) {
            printf("-1 -1\n");
            continue;
        }
        int l1 = l, r1 = n;
        while (l1 + 1 < r1) {
            int mid = l1 + r1 >> 1;
            if (a[mid] <= x)  l1 = mid;
            else    r1 = mid;
        }//判断不大于x的位置也就是终止位置
        printf("%d %d\n", l, l1);
    }
    return 0;
}