KY8 整数拆分

描述

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入描述：

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出描述：

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

示例1

输入：7

输出：6

#include<stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
    int num;
    int dp[1000001];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for (int i = 3; i < 1000000; i++) {
        if (i % 2 == 1) {
            dp[i] = dp[i - 1] % 1000000000;
        } else
            dp[i] = (dp[i / 2] + dp[i - 1]) % 1000000000;
    }
    while (scanf("%d", &num) != EOF)
        printf("%d\n", dp[num]);
    return 0;
}

 题目分析：

对于输入的num，会有奇数与偶数两种情况

对于奇数，有2的0次幂1为最小的一个拆分项，因此dp[2m+1]=dp[2m]；

而对于偶数，则有两种拆分方式，

第一种是拆分的结果中含有1，其本质也就是在dp[2m-1]前的各项+1

那么dp[2m]的一部分 = dp[2m-1]

第二种是拆分的结果只有偶数，比如4=2+2，6=2+4，那么这种拆分与之前的拆分有没有关系呢

通过举例之前拆分情况

dp[1]    (1)
dp[2]    (11)(2)
dp[3]    (111)(12)
dp[4]    (1111)(112)(22)(4)
dp[5]    (11111)(122)(14)(1112)
dp[6]    (111111)(11112)(114)(1122)(222)(24)

我们发现， 假设拆分的结果只有偶数，那么可以认为是dp[m]拆分的结果，每一位全部×2，就是dp[2m]偶数情况的拆分，如dp[4]偶数拆分的个数为dp[2],dp[6]偶数拆分的个数为dp[3]

综合上面两种拆分情况，dp[2m]=dp[2m-1]+dp[m/2]