浅谈CDQ分治

最新推荐文章于 2024-02-26 17:43:38 发布

YYHS_WSF

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分类专栏： CDQ分治

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前置知识：分治

步骤：

1、把原问题分为若干个形式相同，规模更小的子问题，直到子问题足够小

2、递归求解子问题

3、合并子问题的解，得到原问题的解

__________________________________________________________________

CDQ分治：一种特殊的分治，可以代替各种高级数据结构，常数较小，但是必须离线处理

它可以把时间看做一层维度，把插入询问的操作变成先插入后删除的操作

思路如下： $//mid=\frac{l+r}{2}$

1、把区间 $[l,r]$ 分成 $[l,mid][mid+1,r]$

2、递归求解 $[l,mid][mid+1,r]$

3、处理 $[l,mid]$ 对 $[mid+1,r]$ 的影响

例1：逆序对

所谓的归并排序模板题，也就是一种CDQ分治

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=1e6+5;
int n,a[N],t[N];
ll ans;

void work(int l,int r)
{
	if(l==r) return;   //足够小的问题 
	int mid=l+r>>1;
	work(l,mid),work(mid+1,r);   //分解 
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(a[i]<=a[j]) t[k++]=a[i++];
			else t[k++]=a[j++],ans+=mid-i+1;
	}
	while(i<=mid) t[k++]=a[i++];
	while(j<=r) t[k++]=a[j++];
	for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=t[i];    //处理前面对于后面的影响 
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	work(1,n);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

如果把时间轴提取出来，就要求 $(a,b)$ ，满足 $a[i]<a[j]$ 且 $b[i]>b[j]$ 有几对

这类问题就叫二维偏序

时间默认有序，所以 $a$ 是有序的

在处理这类问题时，把 $a$ 排序，然后再求顺序对或者逆序对就可以了

练1：树状数组模板题

题解：想清楚O_O

例2：陌上花开

多了一维，也就是三维偏序

注意离散化+去重

按二维的套路：对 $a$ 排序，对 $a$ 进行cdq分治，就可以抛去 $a$ 对答案的影响（？一定要想清楚）

问题就变成了给定两个序列，求 $b[i]<=b[j]$ 且 $c[i]<=c[j]$ 的数量有多少（i为前一个序列的下标，j为后一个序列的下标）

这不就是二维CDQ？

注意标记，因为把b重排后a的顺序将发生变化

不得不说，这题离散化真的恶心

两个CDQ，所以时间复杂度为 $O(n lg^{2}n)$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e6+5;
int n,m,num[N],ans[N],f[N],n_n;
struct A{ int id,a,b,c; }q[N],q1[N],q2[N];
bool cmpa(A i,A j){ return i.a<j.a||i.a==j.a&&i.b<j.b||i.a==j.a&&i.b==j.b&&i.c<j.c; }

void work2(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    work2(l,mid),work2(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l,y=0;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(q1[i].c<=q1[j].c) q2[k++]=q1[i],y+=q1[i].a?num[q1[i].id]:0,i++; 
            else 
            {
                q2[k++]=q1[j];
                if(!q1[j].a) f[q1[j].id]+=y;
                j++;
            }
    }
    while(i<=mid) q2[k++]=q1[i++];
    while(j<=r) 
    {
        q2[k++]=q1[j];
        if(!q1[j].a) f[q1[j].id]+=y;
        j++;
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) q1[i]=q2[i];
}

void work1(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    work1(l,mid),work1(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(q[i].b<=q[j].b) q1[k]=q[i++],q1[k].a=1,k++; //标记是前面的还是后面的 
            else q1[k]=q[j++],q1[k].a=0,k++;
    }
    while(i<=mid) q1[k]=q[i++],q1[k].a=1,k++;
    while(j<=r) q1[k]=q[j++],q1[k].a=0,k++;
    for(int i=l;i<=r;i++) q[i]=q1[i];
    work2(l,r);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].c);
    sort(q+1,q+n+1,cmpa);
    n_n=1; num[1]=1; q[1].id=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) 
        if(q[i].a==q[i-1].a&q[i].b==q[i-1].b&q[i].c==q[i-1].c) num[n_n]++;
            else q[++n_n]=q[i],q[n_n].id=n_n,num[n_n]++;
    work1(1,n_n);
    for(int i=1;i<=n_n;i++) ans[f[i]+num[i]-1]+=num[i];
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

那是不是可以一直叠下去？

理论上来说是的，但是到后来都没有暴力来的优秀

练2：动态逆序对

题解：想清楚O

四维偏序留着坑等以后再填

dp优化CDQ分治

练3：货币兑换

题解：想清楚O