离散傅里叶变换 - 快速计算方法及C实现 - 第三篇

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/YU_Xianguo/article/details/99641213

本文探讨了如何使用Radix-3算法进行离散傅里叶变换（DFT），并展示了混合Radix-2与Radix-3的DFT分解方法。通过C语言实现，对数据进行重排序，同时提供了验证程序确保正确性。

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DFT – Fast algorithms and C implementations - Part3

Radix-3 DFT

我在第一篇博客里分析了Radix-2 DFT的计算原理，并据此写出了Radix-2 DFT的代码，并验证了其有效性。现在我们有信心认为，只要有了公式，就能写出正确的程序，产生正确的结果！

下面我们推导一下Radix-3 DFT的公式，其实非常简单：

设N长序列 $\lbrace x_j \rbrace_{j<N}$ 的DFT为 $\lbrace X_k \rbrace_{k<N}$ ，且N能被3整除，则：

$\begin{align} X_k &=\sum_{j<N}{x_jW_N^{jk}} \nonumber \\ &=\sum_{j<N/3}{x_{3j}W_N^{3jk}}+\sum_{j<N/3}{x_{3j+1}W_N^{(3j+1)k}} +\sum_{j<N/3}{x_{3j+2}W_N^{(3j+2)k}}\nonumber \\ &= \sum{x_{3j}W_{N/3}^{jk}} + W_N^k \sum{x_{3j+1}W_{N/3}^{jk}} + W_N^{2k} \sum{x_{3j+2}W_{N/3}^{jk}} \nonumber \end{align}$

$\begin{align} X_{k+N/3} &=\sum_{j<N/3}{x_{3j}W_N^{3j(k+N/3)}}+\sum_{j<N/3}{x_{3j+1}W_N^{(3j+1)(k+N/3)}} +\sum_{j<N/3}{x_{3j+2}W_N^{(3j+2)(k+N/3)}}\nonumber \\ &= \sum{x_{3j}W_{N/3}^{jk}} + W_3^1W_N^k \sum{x_{3j+1}W_{N/3}^{jk}} + W_3^2 W_N^{2k} \sum{x_{3j+2}W_{N/3}^{jk}} \nonumber \end{align}$

$\begin{align} X_{k+2N/3} &=\sum_{j<N/3}{x_{3j}W_N^{3j(k+2N/3)}}+\sum_{j<N/3}{x_{3j+1}W_N^{(3j+1)(k+2N/3)}} +\sum_{j<N/3}{x_{3j+2}W_N^{(3j+2)(k+2N/3)}}\nonumber \\ &= \sum{x_{3j}W_{N/3}^{jk}} + W_3^2W_N^k \sum{x_{3j+1}W_{N/3}^{jk}} + W_3^4 W_N^{2k} \sum{x_{3j+2}W_{N/3}^{jk}} \nonumber \\ &= \sum{x_{3j}W_{N/3}^{jk}} + W_3^2W_N^k \sum{x_{3j+1}W_{N/3}^{jk}} + W_3^1 W_N^{2k} \sum{x_{3j+2}W_{N/3}^{jk}} \nonumber \end{align}$