C++之循环结构/动态规划(dp)讲义

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一、上一讲复习习题

(每题 $1$ 分，共 $4$ 分)

1.下面代码的错误有哪些？

if(n%2==0){
	cout<<"Is a even.";
	else{
		cout<<"Is a odd."
	}
}

• n未定义，且没有初始值。
• else语句写的位置错误，应在if语句的后面写。
• 第四行cout<<"Is a odd."处没有分号。
• else在C++中没有定义，压根不能用，而不是位置错。

2.这个判断闰年的核心代码，是对的还是错的？

//year表示当前年份
cin>>year;
if(n/4==0&&n%400!=0){
	cout<<"Is a leap.";
}
if(n%400==0){
	cout<<"Is a leap.";
}
else{
	cout<<"Is not a leap.";
}

• 正确。
• 错误。有_______处错误。

3.下面是洛谷 P5716的核心代码，请说出下面代码的问题。

//year表示年份，month表示月份，isleap表示是否为闰年。
cin>>year>>month;
if(year%4==0||year%400==0){
	isleap=true;
} 
else{
	isleap=false;
}
if(month=1||month=3||month=5||month=7||month=8||month=10||month=12){
	cout<<"31"<<endl;
}
else if(month==4&&month==6&&month==9&&month==11){
	cout<<"30"<<endl;
}
else if(month==2){
	if(isleap){
		cout<<"29"<<endl;
	}
	else{
		cout<<"28"<<endl;
	}
}

• 答：______________________________________________________________________________________________________。

4.读程序选输出。阅读程序，选择它的正确输出。（禁止运行程序）

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	int b=4,a=1,c=4;
	int root=b*b-4*a*c;
	if(root>0){
		cout<<"2"<<endl;
	}
	else if(root==0){
		cout<<1<<endl;
	}
	else{
		cout<<0<<endl;
	}
	return 0;
}

• "1"
• 没有输出
• 0
• 1
• "2"

二、循环结构课堂讲义

引导、概念普及

概念1：程序设计结构基础三要素：顺序结构、分支结构、循环结构。

概念2：程序设计基础掌握内容：顺序结构、分支结构、循环结构、一/多维数组、字符串、函数/函数递归的理解。

一、for循环

我们要列举大于等于数字 $1$ ，小于数字 $6$ 的数字，怎么办呢？相信同学们都已经想好怎么写了，核心代码如下：

cout<<1<<endl;
cout<<2<<endl;
cout<<3<<endl;
cout<<4<<endl;
cout<<5<<endl;

如果我们要列举 $99$ 个数，$999$ 个数，$9999$ 个数，$99999$ 个甚至更多的数，用这种方法岂不太低效了？

别急，我们可以用for循环解决。列举 $1$ 到 $99$ 的数的核心代码如下：

for(int i=1;i<100;i=i+1){
	cout<<i<<endl;
}

这里每个部分是什么呢？

for关键字到}结束的地方称为for循环。它是一种循环结构。

for后面()内三个部分由;分隔，分别表示：进入循环前执行的语句（循环初始化）、循环继续执行一次的条件判断（循环条件），每一次循环执行后会执行的语句（循环后执行语句）。

任务1：分别输出 $1$ 至 $100,1000,10000,100000,1000000$ 的连续数字，想想怎么做？提示：我们可以用for循环解决问题。($3$ 分)

答案：标程链接

任务2：$100$ 以内的正偶数。提示：每次i不一定+1，或用if解决问题？($3$ 分)

答案：标程链接

二、自增和自减

我们要学习特殊的运算符，快速修改变量的值。

在之前的课程中，我们经常见到digit=digit+1，digit=digit-1这样的语句。不难发现，表达式中=右边的值会被先计算出来，赋给=左边的digit(右结合)，其起到了让digit+1的效果。

我们可以将x=x+1简写成x+=1，类似的还有-=,*=,/=,%=等。

当我们对变量的值进行操作，每次增加或减少的量为确定的 $1$ 时，C++语言还专门提供了专门的 自增运算符(increment operator) ++ 和 自减运算符(decrement operator) --。

如果我们写a++或++a，它实际达到的效果与a=a+1或a+=1都是完全一致的。而如果我们写a--或--a则与a=a-1或a-=1在效果上等价。

cout<<(a++);

cout<<(++a);

假设现在a的取值为5，上面这两行代码中第一句会输出的值是5；而同样在a取值为5的情况下，使用第二句则会输出6。这是因为表达式a++先被使用，之后再将a的值增加1，而++a则是先将a的值增加1然后才被使用！

在运算的速度上，速度的快慢如下：

++a > a++ > a+=1 > a=a+1

--a > a-- > a-=1 > a=a-1

任务三：输出 $1$ 至 $n$ 之间的连续正整数，要求使用新学的特殊符号。($3$ 分)

答案：标程链接

知识：循环 $n$ 次有 $2$ 种写法，代码如下：

示例 $1$ ：

int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++/*++i*/){

}

示例 $2$ ：

int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++/*++i*/){

}

三、求和/积模型

1.求 $1$ 到 $n$ 的和。

解法一：运用公式求解

$\frac{(1+n)\times n}{2}$

代码实现：

int n;
cin>>n;
cout<<(1+n)*n/2<<endl;  //公式

解法二：利用循环累加求解

我们定义一个变量 $sum$ ，初始化为 $0$ ，从 $1$ 循环到 $n$ ,每次累加到 $sum$ 中，即可得出正确结果。注意：输出的是 $sum$ ，不是 $n$ ！

代码实现：

int sum=0,n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	sum+=i;         //循环求解的关键
}
cout<<sum<<endl;

思考：如果求 $1$ 到 $n$ 的乘积 ($n!$)，怎么办呢？

解法：利用循环求乘积

我们定义一个变量 $frac$ ，初始化为 $1$ ，从 $1$ 循环到 $n$ ,每次乘到 $frac$ 中，即可得出正确结果。注意：$frac$ 的值必须初始化为 $1$ ！

代码实现：

unsigned long long frac=1; //unsigned是一个整数类型，比 long long 还大。
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	frac*=i;        //同上
}
cout<<frac<<endl;

四、计数器模型

输入 $n$ ，请找出 $1$ 到 $n$ 之间是 $7$ 的倍数的个数。

解法：利用条件判断解决

我们定义一个计数器 $cnt$ 为 $0$ ，表示目前尚未由满足要求的数。从 $1$ 循环到 $n$ ,如果这个数满足条件，那么 $cnt$ 加 $1$ ，否则跳过，最后输出 $cnt$ 。

代码实现：

int n,cnt=0;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	if(i%7==0){    //重要的条件判断部分，计数器模型的核心
		cnt++;
	}
}
cout<<cnt<<endl;

总结的计数器模型：

int n,cnt=0; //初始化很重要！
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	if(/*条件部分*/){
		cnt++;
	}
}
cout<<cnt<<endl;

任务4：计算 $1-n$ 的和。($1$ 分)

任务5：计算 $n!$ ($n$ 的阶乘)，数据大，要用unsigned long long解题。($1$ 分)

任务6：计算 $m$ 到 $n$ 之间个位是 $7$ 的倍数的个数，保证 $7\le m\le n$ 。($10$ 分)

五、进阶的求和/积模型

输入 $n$ 和 $n$ 个正整数，求所有正整数(不包含 $n$)的总和/乘积。

解法：运用循环累加求解

和之前的求和/积模型一样，我们同样定义一个变量 $sum$ ，并初始化为 $0$ ，循环 $n$ 次，在循环内部定义一个临时变量 $x$ ，在这里， $x$ 只在此次循环中有效。输入 $x$ ，并将其累加到 $sum$ 中，输出 $sum$ ，亦可得出正确结果。

代码实现：

int n,sum=0;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	int x;   //临时变量
	cin>>x;
	sum+=x;	 //关键
}
cout<<sum<<endl;

求 $n$ 个数的乘积怎么办呢？

解法：运用循环乘求解

同样，我们定义一个变量 $sum$ ，并初始化为 $1$ ，循环 $n$ 次，在循环内部定义一个临时变量 $x$ ，在这里， $x$ 只在此次循环中有效。输入 $x$ ，并将其乘到 $sum$ 中，输出 $sum$ ，亦可得出正确结果。注意：$sum$ 必须初始化为 $1$ ！

代码实现：

int n,sum=1; //必须初始化为1！
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	int x;
	cin>>x;
	sum*=x;	 //关键
}
cout<<sum<<endl;

六、求最大/最小的数(打擂台算法)

大家看过电视节目吗？在节目中，怎么确定最强的人呢？①把第一个人作为擂主。②挑战者上台与擂主比赛。③如果挑战者胜，则其成为新的擂主，如果挑战者败，则原擂主还是擂主。重复②、③步骤，直到所有人比完。最终的擂主为最强的人。

在求最大/最小的数时，我们也可以把数比大小的过程比作打擂台。比如在1 8 9 4 3 10六个数中，我们定义变量max初始化为-0x7fffffff(一个很大的负数，0x是十六进制的开头，等于十进制的2147483647)，以便让第一个数尽快替换max。

求最大值的模拟过程：把1定为挑战者，1比ffffffff80000001(HEX)/-2147483647(DEC)大，1为擂主。把8定为挑战者，8比1大，8为擂主。把9定为挑战者，9比8大，9为擂主。把4定为挑战者，4没有9大，9依然为擂主。把3定为挑战者，3没有9大，9依然为擂主。把10定为挑战者，10比9大，10为擂主。因此，在这些数中，10是最大的。

求最小值的模拟过程：把1定为挑战者，1比7fffffff(HEX)/2147483647(DEC)小，1为擂主。把8定为挑战者，8没有1小，1依然为擂主。把9定为挑战者，9没有1小，1依然为擂主。把4定为挑战者，4没有1小，1依然为擂主。把3定为挑战者，3没有1小，1依然为擂主。把10定为挑战者，10没有1小，1依然为擂主。因此，在这些数中，1是最小的。

代码实现(求最大值)：

int n,max=-0x7fffffff; //一开始的擂主
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	int temp;
	cin>>temp;  //挑战者 
	if(temp>max){  //如果挑战者的值大于擂主的值 
		max=temp;  //挑战者成为新的擂主 
	}
}
cout<<max<<endl;  //最终的擂主就是最大值

代码实现(求最小值)：

int n,min=0x7fffffff; //一开始的擂主
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	int temp;
	cin>>temp;  //挑战者 
	if(temp<min){  //如果挑战者的值小于擂主的值 
		min=temp;  //挑战者成为新的擂主 
	}
}
cout<<min<<endl;  //最终的擂主就是最小值

任务 $7$ ：

七、保留几位小数

$n$ 名同学在分 $xmL$ 的肥宅快乐水，每名同学分到了多少毫升的肥宅快乐水？如果是 $5$ 名同学分 $500mL$ 的肥宅快乐水，那么每名同学能分到 $500÷5=100(mL)$ 的快乐水，那么 $3$ 名同学分 $100mL$ 的快乐水，每名同学就会分到 $100÷3=\frac{100}{3}(mL)$ 的快乐水。程序不会那么智能，输出 $\frac{100}{3}$ 或者 $33.\dot{3}$ ,一般来说，题目会让我们保留几位小数(四舍五入)。

怎么实现保留几位小数呢？C++中，<iomanip>头文件为我们提供了保留几位小数的语句，能实现四舍五入保留小数位数的目的。其语句用法为cout<<fixed<<setprecision([保留的小数位数])<<[需要保留位数的变量];

比如我们要让 $100÷3$ 的结果保留两位小数，怎么办哪，代码如下：

cout<<fixed<<setprecision(2)<<100/3<<endl;

这样的写法是错误的！程序会输出33.00而不是我们想要的33.33，因为100和33都是int类型的常量，结果也是int类型，100/3的结果为33，再保留两位小数，结果就是33.00了。遇到这样的问题我们有两种解决办法：1.在100/3的前面加上一个(double)，强制转换为double类型，这样就可以正确输出了。2.在100/3前面加上1.0*，这样会让double类型的常量1.0乘100和33，double的int做运算，都会隐式转移为double类型。

注意!<<fixed<<setprecision(2)在整个程序中一直有效！**输出两个数 $9.47854485$ 和 $0.56666464$ ，要求第一个数保留两位小数，对错代码分别如下(Assume that <iostream> and <iomanip> has been included)：

错误：

cout<<fixed<<setprecision(2)<<9.47854485<<" "<<0.56666464<<endl;

正确(无法用现在的知识解决)(Assume that <cstdio> has been included)：

printf("%.2lf ",9.47854445);
printf("%lf\n",0.56666464);

八、平均值算法

首先，输入一个正整数 $n$ ，再输入 $n$ 个整数 $a_1-a_n$ ，求出 $a_1-a_n$ 的平均值。

我们知道了求平均值的公式，假如数的个数为 $x$ ，$x$ 个数为 $a_1-a_x$ ，那么公式如下：

$\frac{a_1+a_2+\cdot \cdot \cdot +a_{x-1}+a_x}{x}$

我们先输入正整数 $n$ ，在定义double类型的 $sum$ ，利用求和模型求出 $n$ 个数的和，最后输出 $sum÷n$ 的结果，按题目要求保留几位小数，这里默认保留 $2$ 位。(整数和浮点数通用)

代码实现：

int n;
double sum=0;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	double x;
	cin>>x;
	sum+=x;
}
cout<<fixed<<setprecision(2)<<sum/n<<endl;

三、动态规划(dp)讲义

敬请期待~~~

四、课后习题

1.完成计蒜客 循环的使用 思维拓展习题

2.完成洛谷循环结构入门题，题目如下：

声明：本讲义由 The YU Team Admin Wu yuyin 编撰，如需转载请得到 The YU Team 的管理员许可，并且附上此声明，否则将严肃处理。

主要参考：计蒜客课程内容-循环结构

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