蒙特卡洛树搜索

蒙特卡洛树搜索（Monte Carlo Tree Search，MCTS）的原理是基于蒙特卡洛方法和树搜索的结合，用于在庞大的搜索空间中寻找最优解。它特别适用于那些状态空间巨大且难以完全遍历的问题，如复杂的博弈游戏。

MCTS 的原理可以概括为以下几个步骤：

1. 选择（Selection）：
   从根节点开始，根据某种策略（如UCT策略）递归地选择子节点，直到达到一个尚未完全展开的节点或叶子节点。选择过程中，算法会平衡探索（访问较少但可能具有潜力的节点）和利用（已知表现较好的节点）之间的权衡。

2. 扩展（Expansion）：
   如果达到的节点是一个未完全展开的节点，即该节点存在未被访问过的子节点，则选择一个或多个子节点加入到搜索树中。这通常涉及评估可能的下一步行动，并将它们作为新的子节点添加到当前节点下。

3. 模拟（Simulation）：
   从扩展步骤中选择的一个新节点开始，进行一系列随机模拟（或称为rollout），直到达到一个终止状态（如游戏结束）。在模拟过程中，通常使用默认策略（如随机策略或基于启发式的策略）来选择行动。

4. 反向传播（Backpropagation）：
   模拟结束后，将得到的结果（如得分或胜负）反向传播回搜索树的根节点，并更新路径上每个节点的统计数据。这些统计数据通常包括访问次数、胜利次数和总得分等，用于评估节点的价值。

通过重复上述步骤，MCTS 能够在有限的计算资源和时间内构建一个搜索树，并逐步聚焦于最有希望的分支。这种方法结合了树搜索的精确性和蒙特卡洛模拟的广泛性，能够在大型状态空间中有效地找到近似最优解。

—————————————————————举栗————————————————————

下面用一个简单的井字棋游戏来说明蒙特卡洛树搜索（MCTS）中的节点、策略、扩展、模拟和反向传播。

玩法：

两个玩家，一个打圈(◯)，一个打叉（✗），轮流在3乘3的格上打自己的符号，最先以横、直、斜连成一线则为胜。

节点（Nodes）

在MCTS中，节点代表游戏的一个状态。对于井字棋，每个节点代表棋盘上的一种特定配置。根节点代表游戏的初始状态，即空棋盘。随着游戏的进行，每个新的棋盘配置都成为树中的一个新节点。

策略（Policy）

策略用于在选择阶段决定从哪个节点向下搜索。最常用的策略是UCT（Upper Confidence Bound for Trees），它平衡了探索和利用。

其中：

• 是节点 i 的胜利次数。
• 是节点 i 的访问次数。
• t 是父节点的访问次数。
• c 是探索常数，用于控制探索的程度。

在选择阶段，算法会选择UCT值最高的子节点。

扩展（Expansion）

当算法到达一个未完全展开的节点时，扩展步骤会发生。对于井字棋，这意味着当前玩家有一些合法的移动尚未被考虑。算法会选择其中一个未考虑的移动，并创建一个新的子节点来代表这个移动后的游戏状态。

模拟（Simulation）

在扩展之后，算法进入模拟阶段。从新创建的节点开始，算法会使用一个快速但可能不完美的策略（通常是随机策略或基于简单启发式的策略）来完成游戏。这个阶段的目的是快速评估当前节点的潜在价值。

反向传播（Backpropagation）

模拟结束后，算法会知道这次模拟的结果（例如，哪一方赢了游戏）。然后，它会将这个结果反向传播回搜索树的根节点，更新路径上每个节点的统计数据。对于赢了的节点，其胜利次数会增加；对于路径上的其他节点，它们的访问次数会增加。

通过重复这些步骤（选择、扩展、模拟、反向传播），MCTS能够逐步构建出一个反映可能游戏结果和最优策略的搜索树。在决策时，算法可以选择根节点下统计数据最好的子节点作为下一步行动。

*注意: MCTS 是一种启发式搜索算法，它并不保证找到全局最优解，但在许多实际应用中已被证明是非常有效的。