非周期信号的傅里叶变换

最新推荐文章于 2024-05-04 22:28:53 发布

古楼望月

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分类专栏：数字信号处理文章标签：傅里叶变换

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周期信号的傅里叶级数指数表示形式为： $f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}$ ，（t是自变量）

周期信号的傅里叶级数系数指数表示为： $F(k\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jk\omega_0t}dt$ ，（k是自变量）

非周期信号的周期 $T_0$ 趋近于无穷大，则离散的频谱 $k\omega_0$ 变成了连续的频谱 $\omega$

于是函数f(x)的频谱密度表示为 $T_0*F(k\omega_0)=\frac{2\pi}{\omega_0}F(k\omega_0)=\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jk\omega_0t}dt$

对上式求极限后称之为非周期信号的傅里叶正变换： $F(\omega)=\lim_{T_0\to\infty}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

傅里叶级数 $f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{F(\omega)}{T_0}e^{jk\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{F(\omega)}{2\pi}e^{jk\omega_0t}\omega_0$

因此非周期信号的傅里叶逆变换为： $f(t)=\sum_{k\omega_0=-\infty}^{\infty}\frac{F(\omega)}{2\pi}e^{jk\omega_0t}\Delta k\omega_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$