一些小结论

斐波那契数:

$$\{\begin{array}{ll}{f}_1=1& \\ f_2=1& \\ f_i=f_{i-1}+f_{i-2},& \text{i > 2}\end{array}$$

1. $S_n=f_{n+2}-1$ (其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和)

2. 奇数项求和：$f_1+f_3+f_5+\cdots +f_{2n-1}=f_{2n}$

3. 偶数项求和： $f_2+f_4+f_6+\cdots +f_{2n}=f_{2n+1}-1$

4. 平方求和： ${f_1}^2+{f_2}^2+{f_3}^2+\cdots +{f_n}^2=f_n{f}_{n+1}$

5. $f_{n-1}{f}_{n+1}={f_n}^2+(-1{)}^n$

6. $gcd(f_n,f_m)=f_{gcd(n,m)}$

组合数相关：

(记得组合相关知识还没有总结…)

1. $C_n^0+C_n^2+\cdots +C_n^{2k}=C_n^1+C_n^3+\cdots +C_n^{2k+1}=2^{n-1}$ \\[2ex]
2. $\sum _{i=0}^r{C}_{n+i}^i=C_{n+r+1}^r$ \qquad 例如 $C_6^0+C_7^1+C_8^2+C_9^3=C_{10}^3$ \\[2ex]
3. $\sum _{i=0}^r{C}_{n+i}^k=C_{n+r+1}^{k+1}$ \qquad 例如 $C_4^4+C_5^4+C_6^4+C_7^4=C_8^5$ \\[2ex]
4. $\sum _{i=0}^{n}i\ast C_n^i=n\ast 2^{n-1}$ \\[2ex]
5. $\sum _{i=0}^n{i}^2\ast C_n^i=n\ast (n+1)\ast 2^{n-2}$ \\[2ex]
6. $\sum _{i=0}^n(C_n^i{)}^2=C_{2n}^n$

数论相关：

• $gcd(2^n-1,2^m-1)=2^{gcd(n,m)}-1$

$n次方求和$

其中 $C_n^m$ 表示组合数

$1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k=\sum _{i=1}^n\left(\right(\sum _{j=0}^{i-1}(-1{)}^j{C}_i^j(i-j{)}^{k+1}\left)C_{n+1}^{i+1}\right)$

例如：
$\sum _{i=1}^{n}i=C_{n+1}^2=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{i=1}^n{i}^2=C_{n+1}^2+2C_{n+1}^3=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{i=1}^n{i}^3=C_{n+1}^2+6C_{n+1}^3+6C_{n+1}^4=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

$\sum _{i=1}^n{i}^4=C_{n+1}^2+14C_{n+1}^3+36C_{n+1}^4+24C_{n+1}^5=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

$\sum _{i=1}^n{i}^5=C_{n+1}^2+30C_{n+1}^3+150C_{n+1}^4+240C_{n+1}^5+120C_{n+1}^6=\frac{n^2(n+1{)}^2(2n^2+2n-1)}{12}$

欧拉函数相关：

• 使得 $gcd(n,i)=d$ 的 $i(i\le n)$ 有 $\varphi (n/d)$ 个； (证明暂无)
• $\sum _{d|n}\varphi (d)=n(d\le n)$
  \quad 即 $n$ 的约数的欧拉函数之和恰为 $n$ ；比如 $\varphi (1)+\varphi (2)+\varphi (4)+\varphi (8)=1+1+2+4=8$

近似公式：

• $\underset{n\to \infty }{\lim }n!=\sqrt{2\pi n}{(\frac{n}{e})}^n$

• $\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$