Poj.2480.Longge's problem(欧拉函数)

本文介绍了一种利用欧拉函数解决特定模运算问题的方法。针对(A/B)%9973的计算需求,当已知A%B=0且gcd(B,9973)=1的情况下,仅需输入A%9973的结果n和除数B,即可通过编程求解。文章提供了一个C++实现案例,展示了如何使用欧拉函数进行高效计算。

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J - A/B

Time Limit: 1000 MS Memory Limit: 32768 KB

64-bit integer IO format: %I64d , %I64u Java class name: Main

[Submit] [Status]

Description

要求(A/B)%9973,但由于A很大,我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除,且gcd(B,9973) = 1)。

Input

数据的第一行是一个T,表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input

2
1000 53
87 123456789

Sample Output

7922
6060

考点:欧拉函数

#include<cmath>
#include<cstdio>

long long phi(long long n){
    long long ans=n;
    for(long long i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

int main()
{
    long long n;
    while(~scanf("%lld",&n)){
        long long ans=0,i;
        for(i=1;i<sqrt(n);i++){
    if(n%i==0)
        ans+=i*phi(n/i)+n/i*phi(i);}
    if(i*i==n)ans+=i*phi(i);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}



<think>好的,我现在需要帮助用户查找POJ平台上编号为1995的题目描述或解决方案。首先,我要确定POJ 1995的具体内容。根据之前的引用,用户提到了POJ的其他题目,比如2242和3294,但1995不在其中。因此,我需要回忆或查找这个题目的信息。 POJ 1995的题目名称应该是“Raising Modulo Numbers”,这是一个常见的算法问题。题目大意是给定多个测试用例,每个用例包含一个模数M和若干组整数对(A_i, B_i),要求计算所有A_i的B_i次方之和模M的结果。例如,计算(A₁^B₁ + A₂^B₂ + ... + Aₙ^Bₙ) mod M。 接下来,用户可能需要解决方案的关键点。这个问题通常涉及快速幂算法,因为直接计算大指数的幂会非常耗时。快速幂可以在O(log B_i)的时间内计算每个A_i^B_i mod M,然后将结果累加后再次取模。 我需要验证这个信息是否正确。根据经验,POJ 1995确实与快速幂相关,正确解法需要处理多个幂次运算并求和。另外,需要注意处理大数运算时的溢出问题,通常可以通过逐次取模来避免。 用户可能还需要代码示例。因此,我应该提供一个使用快速幂的C++或Python代码框架。例如,Python中可以用pow函数的三个参数来实现快速幂,因为它内置了这个功能。 最后,生成相关问题需要考虑题目的扩展,比如快速幂的实现、模运算的性质、优化方法等。这样用户可以从不同角度理解问题。</think>### POJ 1995 题目解析 **题目名称**:Raising Modulo Numbers **题目链接**:[POJ 1995](http://poj.org/problem?id=1995) #### 问题描述 给定多个测试用例,每个用例包含: 1. 模数 $M$(整数,$1 \leq M \leq 45000$) 2. 整数对的数量 $H$($1 \leq H \leq 45000$) 3. $H$ 组整数对 $(A_i, B_i)$($0 \leq A_i, B_i \leq 2^{32}$) 要求计算: $$ \left( \sum_{i=1}^{H} A_i^{B_i} \right) \mod M $$ #### 算法思路 1. **快速幂算法**:直接计算 $A_i^{B_i}$ 会因指数过大而超时,需使用快速幂算法(时间复杂度 $O(\log B_i)$)。 2. **模运算性质**:利用 $(a \cdot b) \mod m = [(a \mod m) \cdot (b \mod m)] \mod m$ 优化中间结果[^1]。 3. **逐项累加**:对每个 $A_i^{B_i} \mod M$ 的结果累加后再次取模。 #### 代码实现(Python) ```python def fast_pow(a, b, mod): result = 1 a = a % mod # 先取模避免溢出 while b > 0: if b % 2 == 1: result = (result * a) % mod a = (a * a) % mod b = b // 2 return result def solve(): import sys input = sys.stdin.read().split() idx = 0 Z = int(input[idx]); idx +=1 for _ in range(Z): M = int(input[idx]); idx +=1 H = int(input[idx]); idx +=1 total = 0 for __ in range(H): A = int(input[idx]); idx +=1 B = int(input[idx]); idx +=1 total += fast_pow(A, B, M) total %= M # 每次累加后取模 print(total % M) if __name__ == "__main__": solve() ``` #### 关键点说明 - **快速幂优化**:通过二进制分解指数,将乘法次数从 $O(B_i)$ 降至 $O(\log B_i)$[^2]。 - **避免溢出**:每次乘法后立即取模,防止数值超出整型范围。 - **时间复杂度**:总体复杂度为 $O(H \cdot \log B_i)$,适用于大输入规模。 ---
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