树状数组学习总结

使用情况：  1. 单点增减修改求区间总和（我愿称之为升级版前缀和）

                    2.区间增减修改求单点

程序实现：

    （1） 单点增减修改求区间总和：

                  原理：前缀和是用c[n]记录 1 ~ n 之和，而树状数组则相当于建了一棵树，

                             而c[n]记录n这个节点为根的子树中所有节点的和。

                  操作：为了建一棵树并在树上进行修改，我们需要引入一个概念：lowbit

                             lowbit是指一个二进制数的最低位的1的权值。

                             例：lowbit（1） = 1 ， lowbit（2）= 2 ， lowbit（3） = 1 ， lowbit（4）= 4

                             然后，我们可以利用lowbit（n）来表示以n为根节点的子树的叶子节点的个数，

                             并以此为基础建树。  

                                       

                              其中,c[n]记录 n - lowbit(n)  +1 ~ n 的格子之和。 

                              接下来我们要处理如何更新这棵树的问题。

                              假如我们要将第二格的格子+2，那么会影响C[2] , C[4]。

                              那么，当我们Cn时，我们要继续把后面的C[n+lowbit(n)]也更新

                              直到n+lowbit(n)超过范围。

                              最后我们处理区间总和，假如我们要求[L,R]范围内的和，

                              那么我们可以用前缀和[1,R] - [1,L]来求。

                              现在我们的问题变为了如何求[1,n]。

                              假如我们要求[1,4]，[1,4] = C4

                              假如我们要求[1,5]，[1,5] = C5 + C4

                              我们只要一直加前面子树的总和即可，而我们可用n - lowbit（n）跟踪前面子树的位置。

                  参考程序：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
  using namespace std;
int n,m;
int a[500005],b[500005],c[500005];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void update(int i,int k)
{
	while(i <= n)
	{
		c[i] += k;
		i += lowbit(i);
	}
}
int Sum(int i)
{
	int sum1 = 0;
	while(i > 0)
	{
		sum1 += c[i];
		i -= lowbit(i);
	}
	return sum1;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	a[0] = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		update(i,a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int f;
		cin>>f;
		if(f == 1)
		{
			int x,k;
			cin>>x>>k;
			update(x,k);
		}
		else if(f == 2)
		{
			int L,R;
			cin>>L>>R;
			cout<<Sum(R) - Sum(L-1)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}