连续平方数

题目

1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + … + x^2 = y^2
是不是存在整数x,y,使得公式成立呢?显然x=y=1 勉强成立,数学上称为“平凡解”。
你的任务是寻找该方程的某个非平凡解(实际上只有1个)。
我改为:输出所有满足条件的x和y。

思路

暴力

代码

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String [] args){
        int[]num=new int[110];
        num[0]=0;
        int i,j;
        for(i=1;i<100;i++){
            num[i]=num[i-1]+i*i;
            for(j=i;j*j<=num[i];j++)
                if(j*j==num[i])
                    System.out.println(i+" "+j);
        }
    }
}
### 完全平方数的概念及其算法解析 完全平方数是指一个整数可以表示为另一个整数的平方的形式。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,因为它们分别等于 \(1^2\)、\(2^2\)、\(3^2\) 和 \(4^2\)[^1]。 #### 判断一个数是否为完全平方数的方法 判断一个正整数 \(n\) 是否为完全平方数可以通过以下方法实现: 1. **暴力枚举法** 枚举从 1 开始到 \(\sqrt{n}\) 的所有整数 \(i\),如果存在某个 \(i\) 满足 \(i^2 = n\),则说明 \(n\) 是完全平方数。这种方法的时间复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)。 ```python import math def is_perfect_square(n): sqrt_n = int(math.sqrt(n)) return sqrt_n * sqrt_n == n ``` 2. **二分查找法** 使用二分查找来优化上述过程。设定初始范围为 `[0, n]`,通过不断缩小范围找到是否存在某整数 \(m\) 满足 \(m^2 = n\)。时间复杂度降低至 \(O(\log n)\)。 ```python def is_perfect_square_binary_search(n): left, right = 0, n while left <= right: mid = (left + right) // 2 square_mid = mid * mid if square_mid == n: return True elif square_mid < n: left = mid + 1 else: right = mid - 1 return False ``` 3. **牛顿迭代法** 牛顿迭代法是一种高效的数值计算方法,用于求解方程根的问题。对于判断完全平方数的任务,可以用它快速逼近 \(\sqrt{n}\),并验证结果是否为整数。 ```python def is_perfect_square_newton_method(n): if n < 2: return True x = n while abs(x * x - n) >= 1e-7: # 设置精度阈值 x = (x + n / x) / 2 y = round(x) return y * y == n ``` #### 关于洛谷上的完全平方数相关题目 在洛谷平台上,涉及完全平方数的题目通常会结合其他算法知识考察选手的能力。以下是几类常见的题型及相关思路: 1. **简单判定问题** 给定若干个整数,要求筛选出其中所有的完全平方数。这类问题可以直接应用前述三种方法中的任意一种解决。 2. **动态规划与完全平方数结合** 如某些经典 DP 问题可能会引入完全平方数作为状态转移条件的一部分。例如,在路径计数或者最小操作次数等问题中,可能需要考虑如何利用完全平方数组成目标值[^3]。 3. **数学性质的应用** 基于完全平方数的一些特殊性质设计题目,比如两个连续完全平方数之间的差值总是奇数等特性,可以帮助简化部分逻辑推理过程。 --- ###
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