UVA 11426-GCD - Extreme (II)

最新推荐文章于 2022-02-26 16:04:00 发布

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本文介绍了一种通过计算正整数n的所有约数i及其对应g(i)的乘积来解决数论问题的方法，其中g(i)为满足特定条件的整数个数。通过预处理phi表和f表，实现了快速求解。

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题目解析

题意

输入正整数n，求满足这里写图片描述的数对（i，j）所对应的gcd（i，j）之和。输入0时程序结束。

思路

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所有gcd（x，n）的值都是n的约数，用g（n，i）表示满足gcd（x，n）=i且x＜n的正整数x的个数，则f(n)=sum{i×g（n，i）|i是n的约数}。gcd（x，n）=i的充要条件是gcd（x/i，n/i）=1。满足条件的x/i有phi（n/i）个，说明g（n，i）=phi（n/i）。
这里写图片描述
计算f(n)若对每个n枚举它的约数i，速度很慢，逆转思路，对于每个i枚举它的倍数n。

代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 4000000
#define LL long long
LL s[MAXN+1],f[MAXN+1];
int phi[MAXN];
void phi_table(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++)
        phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!phi[i]){
            for(int j=i;j<=n;j+=i){
                if(!phi[j])
                    phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
} 
int main(){
    phi_table(MAXN);
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
        for(int n=i*2;n<=MAXN;n+=i)
            f[n]+=i*phi[n/i];
    s[2]=f[2];
    for(int n=3;n<=MAXN;n++)
        s[n]=s[n-1]+f[n];
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF,n)
        printf("%lld\n",s[n]);
    return 0;
}