变分推断及其求解方法

变分推断是一种用于近似推断概率分布的方法，它在统计学和机器学习领域中被广泛应用。本文将介绍变分推断的基本概念和求解方法，并提供相应的源代码示例。

1. 变分推断简介

变分推断旨在解决概率图模型中的推断问题。给定一个观测变量和隐变量的集合，我们的目标是通过近似后验分布来推断未观测到的隐变量。变分推断通过引入一个参数化的变分分布来近似真实的后验分布，并通过最小化两个分布之间的差异来获得近似结果。

2. 变分推断的数学基础

假设我们有一个概率图模型，其中包含观测变量 X 和隐变量 Z。我们的目标是计算后验分布 P(Z|X)。为了近似后验分布，我们引入一个参数化的变分分布 Q(Z)，它属于一个指定的分布族。变分推断的核心思想是最小化变分散度（variational divergence）D(Q(Z)||P(Z|X))，使得变分分布 Q(Z) 尽可能接近真实的后验分布。

3. 变分推断的求解方法

变分推断的求解方法通常涉及到两个主要步骤：变分推断的目标函数构建和优化。

3.1. 目标函数构建

我们首先定义一个被称为证据下界（evidence lower bound，ELBO）的目标函数。ELBO 是变分推断的关键，它是原始问题的下界，并且可以通过变分分布 Q(Z) 的参数来最大化。ELBO 可以通过以下方式计算：

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