《剑指offer》面试题14：剪绳子 贪婪算法 证明

题目： 给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0] * k[1]*…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

贪婪解法： 当n大于等于5时，我们尽可能多的剪长度为3的绳子；当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子。 为什么选2，3为最小的子问题？因为2，3包含于各个问题中，如果再往下剪得话，乘积就会变小。 为什么选长度为3？因为当n≥5时，3(n−3)≥2(n−2)

Motivation： 其实为什么要选2和3，感觉书中的证明并不充分，网上大多写的也语焉不详，人云亦云。于是想着自己写一下推导，应该仅仅是初等数学的东西，有意见欢迎讨论。

证明： n<4的情况不必说，我们假设n>=5。这里的思想是把剪绳子划归为若干个子问题，每一剪就划分为两个子问题。当n>=5时，若剪为长度为a与n-a的两段更优，即a(n-a)>n，其中1<=a<n。下面把式子转化一下（优快云不支持Latex公式编辑也真麻烦）：

令f(n)=(a-1)n-a²，由于a-1>=0，f(n)单调递增。当n=5时，f(n)取得最小值为f(5)=(a-1)*5-a²。要使最小值大于0，接下来求a的取值范围，令方程(a-1)*5-a²=0，可用求根公式解得a为2,3（取整）。

这里我用Matlab把g(a)=a²-5a+5的函数图像绘出，更加直观。

>> x=linspace(1,5);
>> y = x.^2 - 5*x + 5
>>> plot(x,y)

参考：

• 懒得码字，题目描述摘自https://blog.youkuaiyun.com/Tianzez/article/details/79170591
• 《剑指offer》第2版，何海涛

附部分Latex公式，懒得再码：

• a*n-a^{2}>n, (a-1)n-a^{2}>0
• (a-1)*5-a^{2}>0, -a^{2}+5a-5>0, a^{2}-5a+5<0