有限元分析基础介绍

有限元分析基础介绍

所谓有限元分析法，其本质简单来说，是将数学中的微积分方法应用于物理学模拟中。微积分的基本原理是将连续的函数分为无穷多个无限小的单元，对每一个微元进行分析与计算后将他们加和。

而在物理学中，无限小的微元是不存在的，而有限元分析理论中是以有限的、可以计量的大小代替数学微积分中的无限小的微元。这样的方法在计算机普及后开始了大量的运用，计算机可以代替人工高效快速的完成繁复的迭代工作，且划分的有限元大小越小，其最终迭代结果就越准确。

一、基本使用思路与方法

以固体稳态热传导为例：

导热问题数值解的基本求取方法如下图所示：
控制方程与定解条件是依据实际物理模型确定的，在固体稳态热传导中，其方程即为固体热传导方程与三类边界条件中的一个。

确定节点（区域离散化）就是划分微元大小与形状，这对于是否能够得到收敛解至关重要。

建立节点物理量的代数方程则是将前面确定的控制方程进行微分，确定每一个小的微元应当满足的物理条件。

建立迭代初值很好理解，就是设置初始条件。

随后就是利用计算机进行反复迭代计算求解最终结果，直至最终结果收敛，回归稳态条件。

二、在划分微元中可能出现的情况

以二维矩形域为例：

在形状完整，且使用笛卡尔二维坐标系的条件下，对一个二维矩形的的区域离散化的结果如下图所示

如图所示。用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，每个小的区域（控制容积，CV）的物理量值由一个点——节点（也叫结点，node）来表示，例如以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置。

相邻两节点间的距离称为步长（step length），图中x向及y向是各自均分的。根据实际问题的需要，网格的划分常常是不均匀的。这里为简便起见采用均分网格。节点的位置以该点在两个方向上的标号m、n来表示。每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，图中有阴影线的小区域即是节点[M,N]所代表的区域，它由相邻两节点连线的中垂线构成。为叙述方便，我们把节点所代表的小区域称为元体（element），又叫控制容积（control volume）。

每一个节点都与它相邻的的节点存在一定的关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关系式（代数方程式），此关系式又称节点的离散方程。

那边界处的节点与控制容积又该如何计算呢，其划分方式如下图所示：

阴影区即为边界条件下控制容积的划分与选取方法，在进行迭代计算时，不同条件的边界处不应直接代用内部方程，而应该根据实际边界进行适当的调整并使用相应的边界条件。

当出现不规则边界时，则需要使用阶梯型边界逼近法来完成节点划分。当计算区域中出现曲线边界或倾斜边界时，常常用阶梯型的折线来模拟真实边界，然后再用上述方法建立起边界节点的离散方程。内圆边界可以采用下图所示的折线边界来近似。只要网格取得足够密，这种近似处理方法仍能获得相当准确的结果。

三、使用软件

目前使用较多的有限元分析软件主要有ANSYS和COMSOL两种，这两种软件都集成了大多数物理方程与实际使用的情况，在合适的时候适当运用这两种软件能够有效的提高工作效率并实现自己的目标。

关于ANSYS软件（经典模式）的学习，推荐机械工业出版社初版的ANSYS18.0从入门到精通系列。而ANSYS（workbench）也可以找到相应的指导书及实例以供参考。ANSYS（经典模式）也可以关注水哥ANSYS等视频制作者来进行学习。