23.【必备】随机选择算法

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一.数组中的第K个最大元素

题目：数组中的第K个最大元素

算法原理

• 整体思路

  • 这个算法主要是用来在无序数组中找到第(K)大的元素。整体采用了随机选择算法（Randomized Select），其时间复杂度期望为(O(n))。
  • 算法通过不断地对数组进行划分（类似快速排序中的划分操作），逐步缩小查找第(K)大元素的范围，直到找到目标元素。

• 算法步骤

  • findKthLargest函数
    • 它是对外的接口函数，用于找到数组nums中的第(K)大元素。它调用randomizedSelect函数，传入nums.length - k作为参数。这里将问题转换为找到排序后数组中索引为nums.length - k的元素，因为在升序排列的数组中，第(K)大的元素就是索引为nums.length - k的元素。
  • randomizedSelect函数
    • 这个函数是算法的核心部分。它接受一个数组arr和一个索引i。
    • 在函数内部，通过一个循环不断地对数组进行划分操作。循环的条件是l <= r，其中l是左边界，r是右边界。
    • 在每次循环中，首先随机选择一个枢轴元素（partition函数中的x），然后调用partition函数对数组进行划分。划分后，根据目标索引i与划分后的子数组索引关系（first和last），决定是在左子数组、右子数组还是已经找到目标元素。
    • 如果i < first，说明目标元素在左子数组，所以更新右边界r = first - 1；如果i > last，说明目标元素在右子数组，更新左边界l = last + 1；如果i在first和last之间，说明已经找到目标元素，将ans赋值为arr[i]并跳出循环。最后返回ans。
  • partition函数（基于荷兰国旗问题的划分）
    • 这个函数实现了类似荷兰国旗问题的划分操作。它接受数组arr、左右边界l和r以及枢轴元素x。
    • 函数首先初始化first = l和last = r，然后通过一个指针i从左到右遍历数组。
    • 如果arr[i] == x，直接将指针i向右移动；如果arr[i] < x，将arr[i]与arr[first]交换，并同时将first和i向右移动；如果arr[i] > x，将arr[i]与arr[last]交换，并将last向左移动。
    • 这样，经过一轮遍历后，数组被划分成三部分：小于枢轴元素的部分（索引小于first）、等于枢轴元素的部分（索引在first和last之间）和大于枢轴元素的部分（索引大于last）。
  • swap函数
    • 这是一个简单的辅助函数，用于交换数组中的两个元素。它接受数组arr以及要交换的两个元素的索引i和j，通过一个临时变量tmp实现元素的交换。

代码实现 

// 无序数组中第K大的元素
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/kth-largest-element-in-an-array/
public class RandomizedSelect {
    // 随机选择算法，时间复杂度O(n)
    public static int findKthLargest(int[] nums, int k) {
        return randomizedSelect(nums, nums.length - k);
    }

    // 如果arr排序的话，在i位置的数字是什么
    public static int randomizedSelect(int[] arr, int i) {
        int ans = 0;
        for (int l = 0, r = arr.length - 1; l <= r;) {
            // 随机这一下，常数时间比较大
            // 但只有这一下随机，才能在概率上把时间复杂度收敛到O(n)
            partition(arr, l, r, arr[l + (int) (Math.random() * (r - l + 1))]);
            // 因为左右两侧只需要走一侧
            // 所以不需要临时变量记录全局的first、last
            // 直接用即可
            if (i < first) {
                r = first - 1;
            } else if (i > last) {
                l = last + 1;
            } else {
                ans = arr[i];
                break;
            }
        }
        return ans;
    }

    // 荷兰国旗问题
    public static int first, last;

    public static void partition(int[] arr, int l, int r, int x) {
        first = l;
        last = r;
        int i = l;
        while (i <= last) {
            if (arr[i] == x) {
                i++;
            } else if (arr[i] < x) {
                swap(arr, first++, i++);
            } else {
                swap(arr, i, last--);
            }
        }
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
    }
}