动态规划07-分割等和子集(背包问题/Java)

07.分割等和子集

• 题目描述

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

• 分析

题目分析：

1.如果想将一个数组分为等和的两个子集，那么这个数组的元素之和(sum)一定为偶数
2.则每一个子集的和为target为sum的一半
3.通过选取元素使得元素之和为target，这个过程显然是一个背包问题，可以通过动态规划解决

题目转换：

1.由于每个元素可以选择一次，则此问题可转换为0-1背包问题
2.每个元素nums[i]既代表元素的重量，又代表元素的值
3.背包问题是指满足重量为j的情况下，背包的价值最大，但由于此时重量和价值相等，
则背包的最大价值就是满足重量为j的最大重量(j >= dp[i][j])，这里当最大价值
为j时(j == dp[i][j])为可以等分数组。
4.题目要求分为两个子集相同，当一个子集满足背包问题时，另一个自然就满足，所以我们讨论一个背包即可

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]:选取nums中元素下标为[0-i]，背包容量为j时的最大价值
2. 确定递推公式
当背包装不下元素i时：
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
当背包可以装下元素i时：
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i])
3. dp数组如何初始化
dp[0][j]:表示只装元素nums[i]时，背包容量为j时的最大价值
即j < num[i] ? 0 : num[i]
4. 确定遍历顺序
先遍历元素或先遍历物品均可
5. 举例推导dp数组

• Java代码实现

public static boolean canPartition(int[] nums) {
        //当数组的长度为1或者是数组之和为奇数时均不可以分成两部分
        int sum = 0;
        for (int x : nums) {
            sum = sum + x;
        }
        if (sum % 2 != 0 || nums.length == 1) return false;
        //分成两部分的背包的容量为sum/2
        int target = sum / 2;
        //dp[i][j]:选取nums中元素下标为[0-i]，它们的最大和为j
        int[][] dp = new int[nums.length][target + 1];
        //初始化dp数组
        for (int j = nums[0]; j <= target; j++) {
            dp[0][j] = nums[0];//背包重量为j时，只能选取元素num[0]的最大价值
        }
        //遍历dp数组
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= target; j++) {
                if (j < nums[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        return target == dp[nums.length - 1][target];
    }