离散数学——八种特殊元素、全序关系和良序关系

 最大元(最大元素)、最小元(最小元素)

        对于偏序集<A,≤>和集合A的任意子集B,如果存在元素b∈B,使得任意x∈B有x≤b,则称b为B的最大元素(greatest element),简称为最大元;如果存在元素b∈B,使得任意x∈B有b≤x,则称b为B的最小元素(smallest element),简称为最小元

例:集合A={2,3,4,6,12,24,36}上整除关系:

  R={<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,12>,<2,24>,<2,36>,

        <3,3>,<3,6>,<3,12>,<3,24>,<3,36>,

        <4,4>,<4,12>,<4,24>,<4,36>,

        <6,6>,<6,12>,<6,24>,<6,36>,

        <12,12>,<12,24>,<12,36>,

        <24,24>,

        <36,36>} 

B_{1}={6,12},B_{2}={2,3,12},B_{3}={2,3,4,6,12,24},B_{4}={6,12,24,36}的最大元和最小元。

        B_{1}:<6,12>;

        B_{2}:2,3不可比,无最小元;

        B_{3}:2,3不可比,无最小元;

        B_{4}:24,36不可比,无最大元;

最大元最小元
B_{1}126
B_{2}12
B_{3}24
B_{4}6

极大元、极小元

        对于偏序集<A,≤>和集合A的任意子集B,如果存在元素b∈B,使得B中不存在其他元素x满足b≤x,则称b为B的极大元素(maximal element),简称为极大元;如果存在元素b∈B,使B中不存在其他元素x满足x≤b,则称b为B的极小元素(minimal element),简称为极小元

B_{1}={6,12},B_{2}={2,3,12},B_{3}={2,3,4,6,12,24},B_{4}={6,12,24,36}的极大元和极小元。

极大元极小元
B_{1}126
B_{2}122,3
B_{3}242,3
B_{4}36,246

上界、下界

        对于偏序集<A,≤>和集合A的任意子集B,如果存在元素a∈A,使得任意x∈B有x≤a,则称a为子集B的上界(upperbound);如果存在元素a∈A,使得任意x∈B有a≤x,则称a为子集B的下界(lower bound)。
        注意:偏序集<A,≤>的任意子集B的上(下)界不一定是集合B中的元素。

B_{1}={6,12},B_{2}={2,3,12},B_{3}={2,3,4,6,12,24},B_{4}={6,12,24,36}的上界和下界。

        B_{1}:<6,12>;

        B_{2}:2,3不可比,无下界;

        B_{3}:24,36不可比,36不是上界;2,3不可比,无下界;

        B_{4}:24,36不可比,无上界;

上界下界
B_{1}36,24,122,3,6
B_{2}36,24,12
B_{3}24
B_{4}2,3,6

上确界(最小上界)、下确界(最大下界)

        对于偏序集<A,≤>和集合A的任意子集B,如果存在子集B的上界a,使B的任意上界x都有a≤x,则称a为子集B的最小上界(least upper bound)或上确界,记为sup(B)=a;如果存在子集B的下界a使B的任意下界x都有x≤a,则称a为子集B的最大下界(greatest lower bound)或下确界,记为inf(B)=a。换言之,如果C是B的所有上界的集合,则C的最小元c称为B的最小上界上确界;如果C是B的所有下界的集合,则C的最大元c称为B的最大下界下确界

 求B_{1}={6,12},B_{2}={2,3,12},B_{3}={2,3,4,6,12,24},B_{4}={6,12,24,36}的上确界和下确界。

        B_{1}:上确界:min(36,24,12);下确界:max(2,3,6);

        B_{2}:上确界:min(36,24,12);无下确界;

        B_{3}:上确界:24;无下确界;

        B_{4}:无上确界;下确界:max(2,3,6);

上确界下确界
B_{1}126
B_{2}12
B_{3}24
B_{4}6

全序关系

        对于偏序集<A,≤>,如果A中任意两个元素x和y都是有关系的(或者x和y是可比的),即x≤y或者y≤x,则称该偏序关系为全序关系(total order relation),简称为全序,或者线序关系,简称为线序。并称<A,≤>为全序集(total order set),或者线序集,或者(chain)。

良序关系

        对于偏序集<A,≤>,如果A的任意一个非空子集都最小元素,则称该偏序关系为良序关系(well order relation),简称为良序。并称<A,≤>为良序集(well order set)。

例:集合A={2,3,4,6,12,24,36}上整除关系,此偏序关系是否为全序关系或良序关系?

        2,3;3,4;4,6;24,36不可比——>非全序关系或良序关系。

观察下列哈斯图是否为全序关系或良序关系? 

         R_{1}                                             R_{2}                                                          R_{3}

        R_{1}:哈斯图—>传递性,由图任意一个非空子集都有最小元素—>良序关系;任意两元素可比—>全序关系;

        R_{2}:存在不可比—>非全序关系或良序关系;

        R_{3}:存在不可比—>非全序关系或良序关系。

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