离散数学——八种特殊元素、全序关系和良序关系

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最大元（最大元素）、最小元（最小元素）

对于偏序集<A，≤>和集合A的任意子集B，如果存在元素b∈B，使得任意x∈B都有x≤b，则称b为B的最大元素（greatest element），简称为最大元；如果存在元素b∈B，使得任意x∈B都有b≤x，则称b为B的最小元素（smallest element），简称为最小元。

例：集合A={2,3,4,6,12,24,36}上整除关系：

R={<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,12>,<2,24>,<2,36>,

<3,3>,<3,6>,<3,12>,<3,24>,<3,36>,

<4,4>,<4,12>,<4,24>,<4,36>,

<6,6>,<6,12>,<6,24>,<6,36>,

<12,12>,<12,24>,<12,36>,

<24,24>,

<36,36>}

求 $B_{1}$ ={6,12}, $B_{2}$ ={2,3,12}, $B_{3}$ ={2,3,4,6,12,24}, $B_{4}$ ={6,12,24,36}的最大元和最小元。

$B_{1}$ :<6,12>；

$B_{2}$ :2,3不可比，无最小元；

$B_{3}$ :2,3不可比，无最小元；

$B_{4}$ :24,36不可比，无最大元；

	最大元	最小元
$B_{1}$	12	6
$B_{2}$	12	无
$B_{3}$	24	无
$B_{4}$	无	6

极大元、极小元

对于偏序集<A，≤>和集合A的任意子集B，如果存在元素b∈B，使得B中不存在其他元素x满足b≤x，则称b为B的极大元素（maximal element），简称为极大元；如果存在元素b∈B，使B中不存在其他元素x满足x≤b，则称b为B的极小元素（minimal element），简称为极小元。

求 $B_{1}$ ={6,12}, $B_{2}$ ={2,3,12}, $B_{3}$ ={2,3,4,6,12,24}, $B_{4}$ ={6,12,24,36}的极大元和极小元。

	极大元	极小元
$B_{1}$	12	6
$B_{2}$	12	2,3
$B_{3}$	24	2,3
$B_{4}$	36,24	6

上界、下界

对于偏序集<A，≤>和集合A的任意子集B，如果存在元素a∈A，使得任意x∈B都有x≤a，则称a为子集B的上界（upperbound）；如果存在元素a∈A，使得任意x∈B都有a≤x，则称a为子集B的下界（lower bound）。
注意：偏序集<A，≤>的任意子集B的上（下）界不一定是集合B中的元素。

求 $B_{1}$ ={6,12}, $B_{2}$ ={2,3,12}, $B_{3}$ ={2,3,4,6,12,24}, $B_{4}$ ={6,12,24,36}的上界和下界。

$B_{1}$ :<6,12>；

$B_{2}$ :2,3不可比，无下界；

$B_{3}$ :24,36不可比，36不是上界；2,3不可比，无下界；

$B_{4}$ :24,36不可比，无上界；

	上界	下界
$B_{1}$	36,24,12	2,3,6
$B_{2}$	36,24,12	无
$B_{3}$	24	无
$B_{4}$	无	2,3,6

上确界（最小上界）、下确界（最大下界）

对于偏序集<A，≤>和集合A的任意子集B，如果存在子集B的上界a,使B的任意上界x都有a≤x，则称a为子集B的最小上界（least upper bound)或上确界，记为sup(B)=a；如果存在子集B的下界a，使B的任意下界x都有x≤a，则称a为子集B的最大下界（greatest lower bound)或下确界，记为inf(B)=a。换言之，如果C是B的所有上界的集合，则C的最小元c称为B的最小上界或上确界；如果C是B的所有下界的集合，则C的最大元c称为B的最大下界或下确界。

求 $B_{1}$ ={6,12}, $B_{2}$ ={2,3,12}, $B_{3}$ ={2,3,4,6,12,24}, $B_{4}$ ={6,12,24,36}的上确界和下确界。

$B_{1}$ :上确界：min(36,24,12);下确界：max(2,3,6)；

$B_{2}$ :上确界：min(36,24,12);无下确界；

$B_{3}$ :上确界：24；无下确界；

$B_{4}$ :无上确界;下确界：max(2,3,6)；

	上确界	下确界
$B_{1}$	12	6
$B_{2}$	12	无
$B_{3}$	24	无
$B_{4}$	无	6

全序关系

对于偏序集<A，≤>，如果A中任意两个元素x和y都是有关系的（或者x和y是可比的），即x≤y或者y≤x，则称该偏序关系为全序关系（total order relation),简称为全序，或者线序关系，简称为线序。并称<A，≤>为全序集（total order set），或者线序集，或者链（chain）。