CF1073C 题解——尺取（本人原稿在luogu）

CF1073C题解

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简化题意

已知一字符串 $s$ 长度为 $n$，且 $s$ 中各字符代表的意义如下。

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• $U$ 向上走一步；
• $D$ 向下走一步；
• $L$ 向左走一步；
• $R$ 向右走一步；

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现在你在平面直角坐标系的原点，你需要改变字符串 $s$ 中的某个子串中的字符，使得最后能到 $(x,y)$ 位置。求这个子串的最小长度。

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思路

二分

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首先，二分的要求：有界性、单调性、二段性。

本题中，我们设答案为 $l$（固定），则所有大于 $l$ 的答案都可行，也就是说一定可以通过改变长度大于 $l$ 的子串以到达目标点（比如你可以让多余的子串里选一些 $R$ 改成 $L$，相同数量的 $L$ 改成 $R$，相当于没改……）。

显然，本题满足二分的条件。

由于题解里面有很多二分的做法，所以在这里我就稍微带一下，代码就不传了。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

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尺取

尺取的概念、模板题等详见【洛谷日报#73】尺取法小结。

这里我先简单说一下尺取的基本内容。

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尺取的要求

• 取的是一段连续的区间（有两个端点）；

• 结果不会因区间的变长而由成立变成不成立；

• 左端点右移，右端点不会往左移。

要求一是本题的条件，要求二前面已经证明过。所以本题满足尺取的条件。

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方法

1. 按照题意，算出实际上最后到达的位置，并设答案为 $n+1$；

2. 特判不用改动就能到的情况；

3. 设左端点为 $l$，右端点为 $r$，并赋初始值 $1$；

4. 从左到右枚举每个右端点，被枚举到的点取消 $s_r$ 的对应操作。如果区间长度大于等于当前位置与目标点的曼哈顿距离，就右移左端点；

5. 对于每次右移左端点，如果当前区间长度和两点的曼哈顿距离同奇同偶，更新答案；

6. “回溯”，更新答案后，恢复 $s_l$ 的操作；

7. 若答案为 $n+1$，说明无解。

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证明

为什么判断是否右移左端点只要看曼哈顿距离：类比一下“撤回”操作。取消 $s_r$ 的操作后，可以修改成向任意方向走一步，此时相当于从 $l-1$ 位置开始，看走 $r-l+1$ 步能否到达目标点。设曼哈顿距离为 $p$，则：

• 当 $p=r-l+1$ 时，正好能走到目标点；

• 当 $p\le r-l+1$ 且 $p\equiv r-l+1(\mathrm{mod}2)$ 时，可以通过“一上一下，一左一右”走到目标点。

我们发现，有用的步数就是曼哈顿距离 $p$。多往某个方向走一步，就得多往相反的方向走一步，所以多余的步数一定是偶数。由于任何一个整数加偶数，奇偶性不变，所以当且仅当曼哈顿距离 $p$ 和区间长度 $r-l+1$ 同奇同偶时，修改后可以到达目标点。

时间复杂度 $O(n)$。

上代码！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
char s[N];
int main()
{
    int sx=0,sy=0;
    int n;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s+1);
    int fx,fy;
    scanf("%d%d",&fx,&fy);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(s[i]=='U')
            ++sy;
        else if(s[i]=='D')
            --sy;
        else if(s[i]=='L')
            --sx;
        else
            ++sx;//计算最终位置 。 
    }
    if(sx==fx&&sy==fy)
        return 0*printf("0\n");//特判不用修改的情况 。 
    int l=1,minn=n+1;
    for(int r=1;r<=n;++r)
    {
        if(s[r]=='U')
            --sy;
        else if(s[r]=='D')
            ++sy;
        else if(s[r]=='L')
            ++sx;
        else
            --sx;//枚举右端点，取消s[r]操作 。 
        while(l<=r&&abs(fx-sx)+abs(fy-sy)<=r-l+1)
        {
            if(((abs(fx-sx)+abs(fy-sy)))%2==(r-l+1)%2)
                minn=min(minn,r-l+1);
            if(s[l]=='U')
                ++sy;
            else if(s[l]=='D')
                --sy;
            else if(s[l]=='L')
                --sx;
            else
                ++sx;//枚举左端点，恢复s[l]操作。
            ++l;
        }
    }
    printf("%d\n",minn==n+1?-1:minn);
    return 0;
}
//陈文忻　2023-10-22。 
//诚信做题，拒绝ctrl C+ctrl V。 

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AC 啦！

讲得不是很详细，自己意会吧。