51Nod 1103 N的倍数

探讨了如何从给定数组中选取若干个数,使其和为数组长度的倍数的问题。利用鸽巢原理,确保至少存在一组解,并通过有效算法实现解的查找。

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一个长度为N的数组A,从A中选出若干个数,使得这些数的和是N的倍数。
例如:N = 8,数组A包括:2 5 6 3 18 7 11 19,可以选2 6,因为2 + 6 = 8,是8的倍数。
Input
第1行:1个数N,N为数组的长度,同时也是要求的倍数。(2 <= N <= 50000)
第2 - N + 1行:数组A的元素。(0 < A[i] <= 10^9)
OutPut
如果没有符合条件的组合,输出No Solution。
第1行:1个数S表示你所选择的数的数量。
第2 - S + 1行:每行1个数,对应你所选择的数。
Input示例
8
2
5
6
3
18
7
11
19
Output示例
2
2
6

解题思路:鸽巢原理的应用,有关鸽巢原理的内容可以参照百度百科。在本题中假设前i项和的模n的余数为ai,加入前1-n的每个余数均不同,则总共0->n-1,则我们只需要找到模0的前i项即可。如果存在至少两项i,j,i<j, sum[i]%n=sum[j]%n,则i到j之间的所有数的和是n的倍数。因此对于本题肯定存在解,我们便按照这种思路去寻找即可。
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 50010;
int arr[maxn];
ll  sum[maxn];
int pos[maxn];
int n;

int main() {

    bool ok = false;
    cin >> n;
    memset(pos, -1, sizeof(pos));
    sum[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &arr[i]);
        if(ok) continue;
        sum[i] = (sum[i-1] + arr[i]) % n;
        if(sum[i] == 0) {
            ok = true;
            printf("%d\n", i);
            for(int j = 1; j <= i; ++j) {
                printf("%d\n", arr[j]);
            }
            continue;
        }
        if(pos[sum[i]] == -1) {
            pos[sum[i]] = i;
        } else {
            ok = true;
            printf("%d\n", i - pos[sum[i]]);
            for(int j = pos[sum[i]] + 1; j <= i; ++j) {
                printf("%d\n", arr[j]);
            }
        }
    }
    return 0;
}


题目 51nod 3478 涉及一个矩阵问题,要求通过最少的操作次,使得矩阵中至少有 `RowCount` 行 `ColumnCount` 列是回文的。解决这个问题的关键在于如何高效地枚举所有可能的行列组合,并计算每种组合所需的操作次。 ### 解法思路 1. **预处理每一行每一列变为回文所需的最少操作次**: - 对于每一行,计算将其变为回文所需的最少操作次。这可以通过比较每对对称位置的值是否相同来完成。 - 对于每一列,计算将其变为回文所需的最少操作次,方法同上。 2. **枚举所有可能的行列组合**: - 由于 `N` `M` 的最大值为 8,因此可以枚举所有可能的行组合列组合。 - 对于每一种组合,计算其所需的最少操作次,并取最小值。 3. **计算操作次**: - 对于每一种组合,需要计算哪些行列需要修改,并且注意行列的交叉点可能会重复计算,因此需要去重。 ### 代码实现 以下是一个可能的实现方式,使用了枚举位运算来处理组合问题: ```python def min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count): import itertools N = len(matrix) M = len(matrix[0]) # Precompute the cost to make each row a palindrome row_cost = [] for i in range(N): cost = 0 for j in range(M // 2): if matrix[i][j] != matrix[i][M - 1 - j]: cost += 1 row_cost.append(cost) # Precompute the cost to make each column a palindrome col_cost = [] for j in range(M): cost = 0 for i in range(N // 2): if matrix[i][j] != matrix[N - 1 - i][j]: cost += 1 col_cost.append(cost) min_total_cost = float('inf') # Enumerate all combinations of rows and columns rows = list(range(N)) cols = list(range(M)) from itertools import combinations for row_comb in combinations(rows, row_count): for col_comb in combinations(cols, col_count): # Calculate the cost for this combination cost = 0 # Add row costs for r in row_comb: cost += row_cost[r] # Add column costs for c in col_comb: cost += col_cost[c] # Subtract the overlapping cells for r in row_comb: for c in col_comb: # Check if this cell is part of the palindrome calculation if r < N // 2 and c < M // 2: if matrix[r][c] != matrix[r][M - 1 - c] and matrix[N - 1 - r][c] != matrix[N - 1 - r][M - 1 - c]: cost -= 1 min_total_cost = min(min_total_cost, cost) return min_total_cost # Example usage matrix = [ [0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0] ] row_count = 2 col_count = 2 result = min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count) print(result) ``` ### 代码说明 - **预处理成本**:首先计算每一行每一列变为回文所需的最少操作次。 - **枚举组合**:使用 `itertools.combinations` 枚举所有可能的行列组合。 - **计算成本**:对于每一种组合,计算其成本,并考虑行列交叉点的重复计算问题。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于 `N` `M` 的最大值为 8,因此枚举所有组合的时间复杂度为 $ O(N^{RowCount} \times M^{ColCount}) $,这在实际中是可接受的。 - **空间复杂度**:主要是存储预处理的成本,空间复杂度为 $ O(N + M) $。 ### 相关问题 1. 如何优化矩阵中行列的枚举组合以减少计算时间? 2. 在计算行列的交叉点时,如何更高效地处理重复计算的问题? 3. 如果矩阵的大小增加到更大的范围,如何调整算法以保持效率? 4. 如何处理矩阵中行列的回文条件不同时的情况? 5. 如何扩展算法以支持更多的操作类型,例如翻转某个区域的值?
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