并查集详解

引入

例题：（洛谷 P3367 【模板】并查集）

第一行包含两个整数 $N,M$ ,表示共有 $N$ 个元素和 $M$ 个操作。
接下来 $M$ 行，每行包含三个整数 $Z_i,X_i,Y_i$ 。
当 $Z_i=1$ 时，将 $X_i$ 与 $Y_i$ 所在的集合合并。
当 $Z_i=2$ 时，输出 $X_i$ 与 $Y_i$ 是否在同一集合内，是的输出 Y；否则输出 N。

显然可以暴力解决。。。

这就要用到一种数据结构——并查集了！

并查集

并查集可以看做是一种森林，初始时每个节点都指向它自己。

我们来打一个合适的比喻：现在有四位武林高手，它们各自创建了自己的门派，开始都只有他们自己一人：

现在1号大师和2号大师打了一架，2号大师输了，加入了1号大师的门派：

3号大师和4号大师打了一架，4号大师输了，加入了3号大师的门派：

这时，4号（已经不能称之为大师了）去找2号打了一架，徒弟惹了事自然要师傅担着了，所以3号大师率领整个门派加入了1号大师：

这就是并查集的建立过程，那如果我们想知道一位好汉是哪一门派的怎么办？当然是找他师傅，通过他师父找他师傅的师傅，再找他师傅的师傅的师傅。。。一直找到掌门人。

用代码怎么实现呢？

int root(int x)
{
	if(x==f[x])//如果他是掌门人
		return x;//他所在的门派就是他自己的
	return root(f[x]);//找师傅
}

那么帮派之间的合并又是怎样完成的呢？自然是找到两位好汉所在门派的掌门人，然后让一个掌门人加入另一个掌门人：

void join(int x,int y)
{
	int r1=root(x),r2=root(y);//找掌门人
	if(r1!=r2)//如果它们不是一个门派
		f[r1]=r2;//打不过就加入
}

并查集的优化——路径压缩

假设我们有这样一个门派：

那这样不行啊，下达命令太慢，友军还没等到救援就已经被灭了。。。

那应该怎么办呢？采用 中央集权统治 路径压缩！

路径压缩后的并查集变成了这样：

这么神奇的功能是怎么实现的呢？

int root(int x)
{
	if(x==f[x])
		return x;
	f[x]=root(f[x]);//路径压缩，直属中央管辖
	return f[x];
}

注意！路径压缩会破坏树形结构！在题目不需要维护树形结构时才可使用。

并查集的优化——按秩合并

假设有两个帮派为了对付共同的敌人，同仇敌忾，想要友好建交，将两个帮派合并，这时它们的合并不在乎谁是老大，只要合并就行。

那么，我们应该让哪个帮派并入哪个帮派更好呢？显然，将更小的帮派并入更大的帮派更好，这样省事省力。

事实上，在并查集中，一般并不需要维护两个节点的先后关系，而只关心两个节点的所在集合。使用按秩合并，可以减少查询的时间。

按秩合并分为两种：按点的数量合并和按树的高度合并。这里采用树的高度。

void join(int x,int y)
{
	int r1=root(x),r2=root(y);
	if(r1!=r2)
	{
		if(h[r1]<h[r2])
			f[r1]=r2;
		else
		{
			f[r2]=r1;
			if(h[r1]==h[r2])
				h[r1]++;//增加树高
		}
	}
}

注意，使用前将$h[]$数组初始化为$1$。

为什么两个树高度相同，合并时就要加$1$呢？我们来看以下例子：

它们高度相同，假设我们将节点$4$加到节点$1$：

显然，树高加$1$。

并查集的终极优化——路径压缩&按秩合并

我们要想达到真正飞一般的速度，我们要既使用路径压缩，又使用按秩合并！

代码：（其实就是放到一起）

int root(int x)
{
	if(x==f[x])
		return x;
	f[x]=root(f[x]);
	return f[x];
}
void join(int x,int y)
{
	int r1=root(x),r2=root(y);
	if(r1!=r2)
	{
		if(h[r1]<h[r2])
			f[r1]=r2;
		else
		{
			f[r2]=r1;
			if(h[r1]==h[r2])
				h[r1]++;
		}
	}
}

这个方法有多快呢？它的复杂度为$O(\alpha (n))$，其中$\alpha (n)$是阿克曼函数的反函数。

不清楚？这么说吧，百度百科对$\alpha (n)$函数是这么说的：

因为Ackermann函数的增长很快，所以其反函数$\alpha (x)$的增长是非常慢的，对所有在实际问题中有意义的 $x$，$\alpha (x)\le 4$，所以在算法时间复杂度分析等问题中，可以把$\alpha (x)$看成常数。

事实上，当
$$x\le 2^{2^{10^{19279}}}$$
时，$\alpha (x)\le 5$。

完整代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 10010
using namespace std;
int n,m;
int f[MAXN];
int h[MAXN];
int root(int x)
{
	if(x==f[x])
		return x;
	f[x]=root(f[x]);
	return f[x];
}
void join(int x,int y)
{
	int r1=root(x),r2=root(y);
	if(r1!=r2)
	{
		if(h[r1]<h[r2])
			f[r1]=r2;
		else
		{
			f[r2]=r1;
			if(h[r1]==h[r2])
				h[r1]++;
		}
	}
}
int op,x,y;
void init()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i]=i,h[i]=1;
}
int main()
{
	init();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
		if(op==1)
			join(x,y);
		else
			if(root(x)==root(y))
				printf("Y\n");
			else
				printf("N\n");
	}
	return 0;
}