本文深入探讨了贪心算法在解决区间问题中的应用，通过多个实例讲解了如何选择区间以达到最优解，包括区间选点、最大不相交区间数量等问题，并介绍了Huffman树的应用及排序不等式的优化策略。
来自：算法基础课
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第六讲 贪心
6.1区间问题
6.1.1 905. 区间选点
给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。
输出选择的点的最小数量。
位于区间端点上的点也算作区间内。
输入格式
第一行包含整数 N，表示区间数。
接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。
输出格式
输出一个整数，表示所需的点的最小数量。
数据范围
1≤N≤105,
−109≤ai≤bi≤109
输入样例：
3
-1 1
2 4
3 5
输出样例：
2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct Node{
int x,y;
}node[N];
bool cmp(Node a,Node b)
{
return a.y<b.y;
}
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>node[i].x>>node[i].y;
}
sort(node,node+n,cmp);
int r=-2e9;
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(node[i].x>r)
{
r=node[i].y;
ans++;
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
6.1.2 908. 最大不相交区间数量
给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你在数轴上选择若干区间，使得选中的区间之间互不相交（包括端点）。
输出可选取区间的最大数量。
输入格式
第一行包含整数 N，表示区间数。
接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。
输出格式
输出一个整数，表示可选取区间的最大数量。
数据范围
1≤N≤105,
−109≤ai≤bi≤109
输入样例：
3
-1 1
2 4
3 5
输出样例：
2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct Node{
int x,y;
}node[N];
bool cmp(Node a,Node b)
{
return a.y<b.y;
}
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>node[i].x>>node[i].y;
}
sort(node,node+n,cmp);
int r=-2e9;
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(node[i].x>r)
{
r=node[i].y;
ans++;
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
6.1.3 906. 区间分组
给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。
输出最小组数。
输入格式
第一行包含整数 N，表示区间数。
接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。
输出格式
输出一个整数，表示最小组数。
数据范围
1≤N≤105,
−109≤ai≤bi≤109
输入样例：
3
-1 1
2 4
3 5
输出样例：
2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n;
struct Node{
int l,r;
}node[N];
bool cmp(Node a,Node b)
{
return a.l<b.l;
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++) cin>>node[i].l>>node[i].r;
sort(node,node+n,cmp);
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >heap;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(heap.empty()||heap.top()>=node[i].l) heap.push(node[i].r);
else
{
heap.pop();
heap.push(node[i].r);
}
}
cout<<heap.size();
return 0;
}
6.1.4 907. 区间覆盖
给定 N 个闭区间 [ai,bi] 以及一个线段区间 [s,t]，请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖。
输出最少区间数，如果无法完全覆盖则输出 −1。
输入格式
第一行包含两个整数 s 和 t，表示给定线段区间的两个端点。
第二行包含整数 N，表示给定区间数。
接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。
输出格式
输出一个整数，表示所需最少区间数。
如果无解，则输出 −1。
数据范围
1≤N≤105,
−109≤ai≤bi≤109,
−109≤s≤t≤109
输入样例：
1 5
3
-1 3
2 4
3 5
输出样例：
2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct Node{
int l,r;
}node[N];
bool cmp(Node a,Node b)
{
return a.l<b.l;
}
int main()
{
int st,ed,n;
cin>>st>>ed>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>node[i].l>>node[i].r;
sort(node,node+n,cmp);
int res=0;
bool flag=false;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int j=i,r=-2e9;
while(j<n&&node[j].l<=st)
{
r=max(r,node[j].r);
j++;
}
if(r<st)
{
res=-1;
break;
}
res++;
if(r>=ed)
{
flag=true;
break;
}
st=r;
i=j-1;
}
if(flag)
cout<<res;
else cout<<-1;
return 0;
}
6.2 Huffman树
6.2.1 148. 合并果子
在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。
达达决定把所有的果子合成一堆。
每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。
可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。
达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。
因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。
假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。
例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。
可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。
接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。
所以达达总共耗费体力=3+12=15。
可以证明 15 为最小的体力耗费值。
输入格式
输入包括两行，第一行是一个整数 n，表示果子的种类数。
第二行包含 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 ai 是第 i 种果子的数目。
输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。
输入数据保证这个值小于 231。
数据范围
1≤n≤10000,
1≤ai≤20000
输入样例：
3
1 2 9
输出样例：
15
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int x;
cin>>x;
q.push(x);
}
int res=0;
while(q.size()>1)
{
int a=q.top();
q.pop();
int b=q.top();
q.pop();
res+=a+b;
q.push(a+b);
}
cout<<res;
return 0;
}
6.3排序不等式
6.3.1 913. 排队打水
有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 ti，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？
输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 个人装满水桶所花费的时间 ti。
输出格式
输出一个整数，表示最小的等待时间之和。
数据范围
1≤n≤105,
1≤ti≤104
输入样例：
7
3 6 1 4 2 5 7
输出样例：
56
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
typedef long long LL;
LL a[N],s[N];
int main()
{
int n;
cin>>n;
LL res=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
s[i]+=s[i-1]+a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
res+=s[i]-a[i];
}
cout<<res;
return 0;
}
6.4绝对值不等式
6.4.1 104. 货仓选址
在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN。
现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。
为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。
输入格式
第一行输入整数 N。
第二行 N 个整数 A1∼AN。
输出格式
输出一个整数，表示距离之和的最小值。
数据范围
1≤N≤100000,
0≤Ai≤40000
输入样例：
4
6 2 9 1
输出样例：
12
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N;
int A[100010];
int main()
{
cin>>N;
for(int i=0;i<N;i++)
{
cin>>A[i];
}
sort(A,A+N);
int p=A[N/2];
int ans=0;
for(int i=0;i<N;i++)
{
ans+=fabs(p-A[i]);
}
cout<<ans;
return 0;
}
6.5推公式
6.5.1 125. 耍杂技的牛
农民约翰的 N 头奶牛（编号为 1…N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。
奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：
叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。
奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。
这 N 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 Wi 以及自己的强壮程度 Si。
一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。
您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。
输入格式
第一行输入整数 N，表示奶牛数量。
接下来 N 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 i 行表示第 i 头牛的重量 Wi 以及它的强壮程度 Si。
输出格式
输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。
数据范围
1≤N≤50000,
1≤Wi≤10,000,
1≤Si≤1,000,000,000
输入样例：
3
10 3
2 5
3 3
输出样例：
2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct Node{
int w,s;
double sc;
}node[N];
bool cmp(Node a,Node b)
{
return a.w+a.s>b.w+b.s;
}
int sumw[N];
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>node[i].w>>node[i].s;
node[i].sc=(double)node[i].w/node[i].s;
}
sort(node+1,node+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sumw[i]=sumw[i-1]+node[i].w;
}
int ans=-INT_MAX;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans=max(ans,sumw[n]-sumw[i]-node[i].s);
}
cout<<ans;
return 0;
}
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