[51nod1233] Grid Lines_grid lines 51nod

题目大意

在平面直角坐标系中，选择一个包含k个点的点集，满足：
1. 坐标都为整数，且x∈[0,n]，y∈[0,m]
2. 所有点共线
3. 至少一个点在直线x=n，y=m，x轴，y轴的其中一个上

求满足条件的点集数量模 $10^9+7$ 的值

2≤n,m,k≤ $10^6$

分析

首先考虑第三个条件。要保证有一个点在边界上很难，去掉这个条件就很好求。那么可以考虑求出不考虑这个条件的答案ans1，再把外面这一圈去掉，即n-=2,m=-2，求出不考虑这个条件答案ans2,。最终答案就是ans1-ans2

这样就成功去掉了第三条限制了。

接下来分情况讨论：
1. 直线平行于x轴或y轴。
做法是一样的，以平行于x轴为例：首先有m+1种纵坐标，然后n+1个点选择k个，一个组合数解决
2. 直线有斜率且不为0。
可以发现斜率为正、负，方案数是一样的，就可以只处理一种情况。
考虑确定了两个端点，横坐标差、纵坐标差分别为x,y，那么它们中间有(x,y)-1个点可以选择。
现在我们不枚举两个端点，改成枚举x和y，可以直接算出有多少对端点满足条件。
但是这样枚举依然很慢，所以可以考虑枚举gcd的值，然后对于x,y分开考虑。在这里就只需满足d|(x,y)。发现这可以O(1)求出来。
那么剩下的就是求(x,y)=d的答案了。既然都预处理出了上面的答案，直接上莫比乌斯反演的公式即可。
然后对于中间有i个点可以放的情况，答案就是乘上一个组合数。

时间复杂度 $O(nlogn)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=1e6+5,mo=1e9+7;

typedef long long LL;

int n,m,k,Fac[N],Inv[N],Fac_Inv[N],ans,mu[N],tot,pr[N],g[N];

bool bz[N];

bool init()
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        if (!bz[i])
        {
            pr[tot++]=i; mu[i]=-1;
        }
        for (int j=0;j<tot;j++)
        {
            int I=i*pr[j];
            if (I>n+1) break;
            bz[I]=1;
            if (i%pr[j]==0)
            {
                mu[I]=0;
                break;
            }
            mu[I]=-mu[i];
        }
    }
    Fac[0]=Inv[1]=Fac[1]=Fac_Inv[1]=Fac_Inv[0]=1;
    for (int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        Fac[i]=(LL)Fac[i-1]*i%mo;
        Inv[i]=(LL)Inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;
        Fac_Inv[i]=(LL)Fac_Inv[i-1]*Inv[i]%mo;
    }
}

int C(int n,int m)
{
    return (LL)Fac[n]*Fac_Inv[m]%mo*Fac_Inv[n-m]%mo;
}

int calc(int n,int m)
{
    if (n+1<k) return 0;
    ans=0;
    n++; m++;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int t1=((LL)(n/i-1)*(n/i)%mo*Inv[2]%mo*i+(LL)(n%i)*(n/i))%mo,t2=((LL)(m/i-1)*(m/i)%mo*Inv[2]%mo*i+(LL)(m%i)*(m/i))%mo;
        g[i]=(LL)t1*t2%mo;
    }
    for (int i=k-1;i<=m;i++)
    {
        int t=0;
        for (int j=1;j*i<=m;j++)
        {
            if (mu[j]>0) t=(t+g[i*j])%mo;
            else if (mu[j]<0) t=(t-g[i*j]+mo)%mo;
        }
        ans=(ans+(LL)t*C(i-1,k-2))%mo;
    }
    ans=(ans+ans)%mo;
    ans=(ans+(LL)m*C(n,k))%mo;
    if (m>=k) ans=(ans+(LL)n*C(m,k))%mo;
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&k);
    if (m>n) n^=m^=n^=m;
    init();
    printf("%d\n",(calc(n,m)-calc(n-2,m-2)+mo)%mo);
    return 0;
}