【习题】【区间dp习题】AcWing 320.能量项链(详细地解释了状态转移中的k)

能量项链

Question:AcWing 320.能量项链

Question Link:acwing.com/problem/content/322

Algorithm:区间dp

Question Description

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链，在项链上有 N 颗能量珠。

能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。

并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。

因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。

如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 m×r×n（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 m，尾标记为 n。

需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。

显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 N=4，4 颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3)(3，5)(5，10)(10，2)。

我们用记号 ⊕ 表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k) 表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则

第 4、1 两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=10×2×3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 ((4⊕1)⊕2)⊕3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

输入格式

输入的第一行是一个正整数 N，表示项链上珠子的个数。

第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 1000，第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记，当 i<N 时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i+1 颗珠子的头标记，第 N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

输出只有一行，是一个正整数 E，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

数据范围

4≤N≤100,
1≤E≤2.1×109

输入样例：

4
2 3 5 10

输出样例：

710

Question Description没有任何高亮，非常建议大家通过链接看题目描述。

思路：

1. 环拆链加倍(很容易想到)
2. 我们把例如：设 $N=4$，$4$ 颗珠子的头标记与尾标记依次为 $(2，3)$$(3，5)$$(5，10)$$(10，2)$
   环拆链后记为 $2$ $3$ $5$ $10$ $2$ $3$ $5$ $10$
   那么两个数(即头和尾)即代表一个珠子,那么易知对于
   $(2，3)$$(3，5)$$(5，10)$$(10，2)$四个珠子来说其表示应为$2$ $3$ $5$ $10$ $2$
   即用上述方法记,环拆链后记为的数组 首数和尾数只是单独的头和尾,其他的数即使其前面的数的尾又是其后面数的头
3. 枚举长度$len$,若$len==2$则说明这是一颗珠子,一颗珠子没有最大能量,故初始化为0;
4. 对于转移,例如
   
   当$k=l+1$时,
   左面$dp[l][k]$即为一颗珠子,那么其值为0,合成后为$l$ $k$
   右面$dp[k][r]$,其值为$dp[k][r]$,合成后为$k$ $r$
   最终合并 $l$ $k$ $r$,其值为 $w[l]\times w[r]\times w[k]$
   对于例图这种情况,此时$dp[l][r]=130=0+100+30$,
   (对于例图这种情况即dp[2][4]应为150,请自己计算下k=3的那种情况)
   …
   我们可以得到这样的转移方程
   $$dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+w[l]\times w[r]\times w[k])$$
5. 注意只有$dp[l][r]=dp[l][l+n]$的状态才是合法状态，其他的状态一论不合法。
6. 闫氏dp分析法( 状态计算请看4. ):
   

Code:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=210;//环拆链
int dp[N][N],w[N];//DoNotUse w[0]
int e,n;
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> w[i] ;
        w[n+i]=w[i];
    }
    for (int len = 2; len <= n+1; len++)//len==2即为一个单个的珠子
    {
        for (int l = 1; l+len-1 <= 2*n; l++)
        {
            int r=l+len-1;
            if(len==2)//就一个珠子
            {
                dp[l][r]=0;
                continue;
            }
            for (int k = l+1; k < r; k++)
            {
                dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+w[l]*w[k]*w[r]);
            }
            
        }
        
    }
    int ans=0;
    for (int l = 1; l <= n; l++) ans=max(ans,dp[l][l+n]);
    cout << ans << endl;
}

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