平均绝对误差（MAE loss）—鲁棒的回归损失

言一法师

已于 2023-09-09 16:49:45 修改

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分类专栏：深度学习入门文章标签：回归

于 2023-09-09 16:45:15 首次发布

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本文介绍了平均绝对误差损失(MAE)的概念，用于回归问题的评估，它具有计算简单、对异常值鲁棒的优点，但梯度大且在0点不可导，可能导致训练过程不稳定。文中还提供了Python和Numpy实现方法以及MAE的优缺点分析。

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平均绝对误差损失（MAE loss）—鲁棒的回归损失

什么是平均绝对误差损失？

假设我们有真实值：

$y\_\text{true}=y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}$

和预测值：

$y\_\text{pred}=\widehat{y}=\begin{bmatrix}\widehat{y_1}\\\widehat{y_2}\\\widehat{y_3}\end{bmatrix}$

平均绝对误差（Mean Absolute Error）损失可以写为：

$\begin{aligned}MAE&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N}|y\_\text{true}_i-y\_\text{pred}_i|\\\\MAE&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N}|y_i-\widehat{y_i}|\\\\\implies MAE&=\frac{1}{3}[|y_1-\widehat{y_1}|+|y_2-\widehat{y_2}|+|y_3-\widehat{y_3}|]\end{aligned}$

其中，‘3’代表 $y\_\text{true}$ 和 $y\_\text{pred}$ 中标量元素的个数。

在Python中，利用Numpy，平均绝对误差损失可以写为：

import numpy as np
np.random.seed(2001716)

# defining MAE
def mae(y_true, y_pred):
    return np.mean(abs(y_true - y_pred))

如何计算MAE的梯度？

真实值 $y\_\text{true}$ 固定，MAE的值与 $y\_\text{pred}$ 有关，也即与 $(\widehat{y_1},\widehat{y_2},\widehat{y_3})$ 有关。

$f(\widehat{y_1},\widehat{y_2},\widehat{y_3})$

MAE的Jacobian矩阵（函数的一阶偏导数以一定方式排列而成的矩阵）为：

$J=\frac{\partial(MAE)}{(\widehat{y_1},\widehat{y_2},\widehat{y_3})}=\begin{bmatrix}\frac{\partial(MAE)}{\partial(\widehat{y_1})}\\\\\frac{\partial(MAE)}{\partial(\widehat{y_2})}\\\\\frac{\partial(MAE)}{\partial(\widehat{y_3})}\end{bmatrix}$

分别计算Jacobian矩阵中的每一个元素得到：

$\begin{aligned} \implies J&=\begin{bmatrix}\frac{-(y_1-\widehat{y_1})}{3|y_1-\widehat{y_1}|}\\\\\frac{-(y_2-\widehat{y_2})}{3|y_2-\widehat{y_2}|}\\\\\frac{-(y_3-\widehat{y_3})}{3|y_3-\widehat{y_3}|}\end{bmatrix} \\ \Longrightarrow J&=-\frac13(\begin{bmatrix}y_1-\widehat{y_1}\\\\y_2-\widehat{y_2}\\\\y_3-\widehat{y_3}\end{bmatrix}/\begin{bmatrix}|y_1-\widehat{y_1}|\\\\|y_2-\widehat{y_2}|\\\\|y_3-\widehat{y_3}|\end{bmatrix}) \\ \Longrightarrow J&=-\frac13\frac{y\_true-y\_pred}{|y\_true-y\_pred|} \end{aligned}$

其中，‘3’代表 $y\_\text{true}$ 和 $y\_\text{pred}$ 中标量元素的个数。

在Python中，利用Numpy，平均绝对误差损失的Jacobian矩阵可以写为：

# defining MAE gradients

def mae_grad(y_true, y_pred):                
    N = y_true.shape[0]
    return -((y_true - y_pred) / (abs(y_true - y_pred) + 10**-100)) / N

MAE的优缺点

😀优点：由于MAE计算的是绝对误差，无论是 $(y\_\text{true}_{i}-y\_\text{pred}_{i})>1$ 还是 $(y\_\text{true}_{i}-y\_\text{pred}_{i})<1$ ，没有平方项的作用，它们产生的惩罚力度相同，也不会被过度放大，因此MAE无论对于什么样的输入值，都能产生稳定的梯度，不会导致梯度爆炸，能得到较为稳健的解，同时对离群点不过分敏感，其鲁棒性更好。

☹️缺点：在我们需要关注模型对某些局外点的预测时不太适用。MAE在训练中产生的梯度始终很大，且在0点连续但不可导，这意味着即使对于小的MAE损失值，其产生的梯度也是大的。这不利于函数的收敛，模型学习速度慢，同时也会导致在使用梯度下降训练模型时，在结束时可能会遗漏全局最小值。

MAE loss over.