概率论好题：洛谷P5389 [Cnoi2019]数学课

题目大意

给定一个序列 $a$ ，满足 $a_n=1+2+3+...+n$，根据题目给定的概率选择其中两个（可相同）的元素 $v1,v2$ ，我们记录 $a\in [1...v1]$，$b\in [1...v2]$ ，$a$ 和 $b$ 都等概率地选择区间内的数，求使得$a<b$ 的概率（模 $998244353$）。

其中，假设选择第 $i$ 个元素，那么选中第 $i$ 个元素的概率为：

$$\frac{3i\ast (i+1)}{n(n+1)(n+2)}$$

样例输入：
2
样例输出：
686292993

题解

做一下简单的分析，我们 $a$ 和 $b$ 的生成方法相同，所以我们 $a<b$ 和 $a>b$ 的概率是相等的，所以假设 $a=b$ 的概率为 $p$ 那么答案就为 $\frac{1-p}{2}$ 。

我们考虑每个数生成的概率。可以发现，第 $i$ 个元素中含有 $\frac{i(i+1)}{2}$ 个数，那么在第 $i$ 个元素内选中某一个数的概率为：
$$\frac{3i\ast (i+1)}{n(n+1)(n+2)}\ast \frac{2}{i(i+1)}=\frac{6}{n(n+1)(n+2)}$$
可以发现 $i$ 被消掉了，这证明我们 $a$ 和 $b$ 选择的概率，不和是第几个元素有关，而是和被多少个元素包含有关，所以现在我们要找到每个数被多少元素包含。

经过打表 分析，$\frac{i(i-1)}{2}+1$ 到 $\frac{i(i+1)}{2}$ 被 $(n-i+1)$ 个元素包含，所以其中任意一个数被选中的概率为:
$$\frac{6(n-i+1)}{n(n+1)(n+2)}$$
从 $\frac{i(i-1)}{2}+1$ 到 $\frac{i(i+1)}{2}$ 一共有 $i$ 个数，那么这一段抽到 $a$ 和 $b$ 相同的概率即为 $i\ast \frac{6(n-i+1)}{n(n+1)(n+2)}$ 。

因为一共有 $n$ 段，所以总的概率即为（以下求和默认为$i=1...n$，懒得打了）:
$$\sum i\ast \frac{6(n-i+1)}{n(n+1)(n+2)}$$
但是这样是 $O(n)$ 的，肯定会爆，所以我们要对式子进行化简，化简如下 。

$$\begin{gathered} \sum i\ast \frac{6(n-i+1)}{n(n+1)(n+2)} \\ =\frac{36\sum i(n-i+1{)}^2}{n^2(n+1{)}^2(n+2{)}^2} \end{gathered}$$

我们对求和部分进行化简：

$$\begin{gathered} \sum i(n-i+1{)}^2 \\ =\sum i(n^2+2n+1+i^2-2ni-2i^2) \\ =(n+1{)}^2\sum i+\sum i^3-2(n+1)\sum i^2 \end{gathered}$$

我们对此分别用等差数列公式，平方和公式，立方和公式去化简，求得结果为：

$$\frac{n(n+1{)}^2(n+2)}{12}$$

带入原来的式子中:

$$\begin{gathered} \frac{36\ast \frac{n(n+1{)}^2(n+2)}{12}}{n^2(n+1{)}^2(n+2{)}^2} \\ =\frac{3}{n(n+2)} \end{gathered}$$

求得一个优美的答案，很舒服。

那我们的最终答案即为
$$\frac{1-\frac{3}{n(n+2)}}{2}$$

当 $n$ 为无穷大时，$\frac{3}{n(n+2)}$ 趋近于 $0$ ，所以答案为 $\frac{1}{2}$ 。
至此，题目完美解决。

另：
平方和公式：$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
立方和公式：$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

代码

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long n,mod=998244353;
long long pw(long long x,long long y){
	long long sum=1;
	while(y){
		if(y%2==1) sum=(sum*x)%mod;
		x=(x*x)%mod;
		y/=2; 
	}
	return sum;
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	if(n==0){
		printf("%lld\n",pw(2,mod-2));
		return  0;
	}
	else{
		long long P=(3*pw(((n%mod)*((n+2)%mod))%mod,mod-2))%mod;
		printf("%lld\n",(((1-P+mod)%mod)*pw(2,mod-2))%mod);
		return 0;
	}
}