《最长单调子序列》基础概念

原创已于 2025-06-19 09:01:17 修改 · 886 阅读

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#算法 #数据结构 #线性DP #最长单调子序列

于 2025-06-19 09:00:23 首次发布

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一、算法概述

问题定义：给定一个整数序列，找到其中最长的严格递增（递减）子序列的长度。子序列中的元素不需要连续，但必须保持原序列的顺序。例如，序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18] 的最长递增子序列是 [2, 3, 7, 101]，长度为 4。
应用场景：该算法在生物信息学（DNA序列分析）、数据压缩和计算机视觉等领域有广泛应用。

二、算法思路

动态规划思想：维护一个辅助数组 g，其中 g[i] 表示长度为 i 的递增子序列的最小可能末尾元素。通过贪心策略和二分查找优化，高效地更新该数组。
核心策略：对于每个元素，尝试将其插入或替换到辅助数组 g 中的适当位置，以保持数组的单调性。插入位置由二分查找确定。
关键性质：
- 数组 g 始终保持严格递增。
- 数组 g 的长度即为当前找到的最长递增子序列的长度。

三、伪代码实现

算法：最长递增子序列（贪心+二分优化）
输入：数组 a[0..n-1]，数组长度 n
输出：最长递增子序列的长度

function getLIS(n, a[]):
    // g[i] 表示长度为 i+1 的递增子序列的最小末尾元素
    g[0..n-1]
    gSize = 0  // 当前最长递增子序列的长度
    
    for i = 0 to n-1:
        // 二分查找插入位置
        l = -1, r = gSize
        while l + 1 < r:
            mid = (l + r) / 2  // 向下取整
            if g[mid] >= a[i]:
                r = mid
            else:
                l = mid
        
        // 插入或替换操作
        if r == gSize:
            g[gSize] = a[i]
            gSize = gSize + 1
        else:
            g[r] = a[i]
    
    return gSize

// 主程序
输入 n
输入数组 a[0..n-1]
输出 getLIS(n, a)

四、算法解释

初始化阶段：
- 创建辅助数组 g 用于存储递增子序列的最小末尾元素。
- gSize 记录当前最长递增子序列的长度，初始为 0。
遍历处理每个元素：
- 二分查找：对于每个元素 a[i]，在 g 中找到第一个大于或等于 a[i] 的位置 r。
- 插入或替换：
  - 如果 r 等于当前 gSize，说明 a[i] 可以扩展当前最长子序列，将其添加到 g 的末尾。
  - 否则，将 g[r] 替换为 a[i]，以减小长度为 r+1 的子序列的末尾元素，为后续扩展提供可能。
示例演示：
- 输入数组 [3, 1, 2, 5, 4, 6]。
- 处理过程：
  - 处理 3：g = [3]，长度 1。
  - 处理 1：g = [1]，替换 3。
  - 处理 2：g = [1, 2]，扩展长度。
  - 处理 5：g = [1, 2, 5]。
  - 处理 4：g = [1, 2, 4]，替换 5。
  - 处理 6：g = [1, 2, 4, 6]，最终长度为 4。
正确性证明：
- 数组 g 始终保持严格递增，确保二分查找的正确性。
- 通过替换操作，贪心策略保证了每个长度的子序列末尾元素尽可能小，从而允许后续元素更容易扩展。

五、复杂度分析

时间复杂度： $O (n l o g n)$ ，其中 $n$ 是数组长度。每个元素的处理需要 $O (l o g n)$ 的二分查找。
空间复杂度： $O (n)$ ，主要用于存储辅助数组 g。
与朴素 DP 的对比：传统动态规划方法的时间复杂度为 $O (n^{2})$ ，而本算法通过贪心和二分优化将复杂度降低到 $O (n l o g n)$ ，适用于大规模数据。