程序员的财务自由之路（三）- 赌徒输光定理

一、前言

• 小时候想过买彩票，每天买一张，也就两块钱，买一辈子，总能中个 $1000W$ 吧，长大以后才知道，有两道鸿沟是最难逾越的：
• 1）坚持本来就不是一件容易的事情；
• 2）概率是被精心设计过的；
• 那么，今天我们来谈谈 买彩票 和 赌博 是否能够让我们实现财务自由；

二、双色球

• 接下里我们从数学的角度揭露下双色球中头奖是一件多么不容易的事情；

1、规则

• 1）“双色球” 每注投注号码由 6个红色球号码 和 1个蓝色球号码 组成。红色球号码从$[1,33]$中选择；蓝色球号码从$[1,16]$中选择；
• 2）一周开三期，每注 2元；
• 3）投注方式有 “单式” 和 “复式” 两种，为了简化问题，只讨论 “单式” 投注的情况；

2、单式中奖概率统计

• 由于三等奖已经只有3000块了，所以三等奖以后的情况已经和财务自由无缘了，所以就不列出来咯；

奖级	红色球号码	蓝色球号码	说明	奖金额度	中奖概率
一等奖	●●●●●●	●	选6+1中6+1	最高1000W	$\frac{1}{C_{33}^6{C}_{16}^1}=\frac{1}{17721088}\approx 5.64299438\times 10^{-8}$
二等奖	●●●●●●		选6+1中6+0	最高300W	$\frac{C_{15}^1}{C_{33}^6{C}_{16}^1}=\frac{15}{17721088}\approx 8.46449157\times 10^{-7}$
三等奖	●●●●●	●	选6+1中5+1	固定3000元	$\frac{C_6^5{C}_{27}^1}{C_{33}^5{C}_{16}^1}=\frac{162}{17721088}\approx 9.14165090\times 10^{-6}$

• 我们看到，如果能够中个一二等奖，起码有一笔启动资金，可以用来买房，或者做其他理财；
• 于是，我们把 中一二等奖 的概率相加，得到大概是：
  $$P=9.0287\times 10^{-7}$$
• 那么，得出如果连续买 $x$ 期，一期都没有中的概率是：
  $$(1-P{)}^x$$
• 至少中一次的概率就变成了：
  $$1-(1-P{)}^x$$

3、至少中一次高额奖金的概率

• 假设我们用剩下 $70$ 年的时间来买彩票，总共 70*365 （为了简化问题，不算闰年）天，双色球开奖期数为 $70\ast 365\ast \frac{3}{7}=10950$ 期，如果每期我们都买一注，一辈子花费 21900 元，最后至少中一次高额奖金的概率为：
  $$P_h=1-(1-9.0287\times 10^{-7}{)}^{10950}\approx 0.098=0.98\%$$
• 连百分之一都不到！好！你不甘心，说：“我每期多买几注，是不是概率就高很多了！”
• 嗯！满足你的欲望，我们来用程序的角度来计算下：

每期投注数	70年总投注数	70年总耗费(元)	至少中一次高额奖金的概率
1	10950	21900	0.98%
2	21900	43800	1.96%
3	32850	65700	2.92%
4	43800	87600	3.88%
5	54750	109500	4.82%
6	65700	131400	5.76%
7	76650	153300	6.69%
8	87600	175200	7.60%
9	98550	197100	8.51%
10	109500	219000	9.41%
11	120450	240900	10.30%
12	131400	262800	11.19%
13	142350	284700	12.06%
14	153300	306600	12.93%
15	164250	328500	13.78%
16	175200	350400	14.63%
17	186150	372300	15.47%
18	197100	394200	16.30%
19	208050	416100	17.13%
20	219000	438000	17.94%
21	229950	459900	18.75%
22	240900	481800	19.55%
23	251850	503700	20.34%
24	262800	525600	21.12%
25	273750	547500	21.90%
26	284700	569400	22.67%
27	295650	591300	23.43%
28	306600	613200	24.18%
29	317550	635100	24.93%
30	328500	657000	25.67%
31	339450	678900	26.40%
32	350400	700800	27.12%
33	361350	722700	27.84%
34	372300	744600	28.55%
35	383250	766500	29.25%
36	394200	788400	29.95%
37	405150	810300	30.64%
38	416100	832200	31.32%
39	427050	854100	31.99%
40	438000	876000	32.66%
41	448950	897900	33.33%
42	459900	919800	33.98%
43	470850	941700	34.63%
44	481800	963600	35.27%
45	492750	985500	35.91%
46	503700	1007400	36.54%
47	514650	1029300	37.17%
48	525600	1051200	37.78%
49	536550	1073100	38.40%
50	547500	1095000	39.00%
51	558450	1116900	39.60%
52	569400	1138800	40.20%
53	580350	1160700	40.78%
54	591300	1182600	41.37%
55	602250	1204500	41.94%
56	613200	1226400	42.51%
57	624150	1248300	43.08%
58	635100	1270200	43.64%
59	646050	1292100	44.19%
60	657000	1314000	44.74%
61	667950	1335900	45.29%
62	678900	1357800	45.83%
63	689850	1379700	46.36%
64	700800	1401600	46.89%
65	711750	1423500	47.41%
66	722700	1445400	47.93%
67	733650	1467300	48.44%
68	744600	1489200	48.95%
69	755550	1511100	49.45%
70	766500	1533000	49.95%
71	777450	1554900	50.44%
72	788400	1576800	50.93%
73	799350	1598700	51.41%
74	810300	1620600	51.89%
75	821250	1642500	52.36%
76	832200	1664400	52.83%
77	843150	1686300	53.29%
78	854100	1708200	53.75%
79	865050	1730100	54.21%
80	876000	1752000	54.66%
81	886950	1773900	55.10%
82	897900	1795800	55.55%
83	908850	1817700	55.98%
84	919800	1839600	56.42%
85	930750	1861500	56.84%
86	941700	1883400	57.27%
87	952650	1905300	57.69%
88	963600	1927200	58.11%
89	974550	1949100	58.52%
90	985500	1971000	58.93%
91	996450	1992900	59.33%
92	1007400	2014800	59.73%
93	1018350	2036700	60.13%
94	1029300	2058600	60.52%
95	1040250	2080500	60.91%
96	1051200	2102400	61.29%
97	1062150	2124300	61.67%
98	1073100	2146200	62.05%
99	1084050	2168100	62.42%
100	1095000	2190000	62.79%

• 代码如下，如果需要可以直接复制过去；

#include <iostream>

using namespace std;

const int SINGLE = 1107568; // C(33,6)
const int TOT = 10950;

// 二分幂加速
double Exp(double v, int ex) {
	if (ex == 0) {
		return 1;
	}
	double ret = Exp(v*v, ex / 2);
	if (ex & 1) {
		ret *= v;
	}
	return ret;
}

// 买 x 注至少中一次高额奖金的概率
double P(int x) {
	double p = 1.0 / SINGLE;
	return 1 - Exp(1-p, x);
}

int main() {
	for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
		printf("%d|%d|%d|%.2lf%%\n", i,TOT*i, TOT*i*2, 100*P(TOT*i));
	}
	return 0;
}

• 用整个程序不停得往上增加指数去跑，你会发现，只要每期投 $1000$ 注（一周花费6000块的意思），这一生就能百分百中一次高额奖金哦，然后你会发现，实际你花费已经远远超过 1000 W 了…

4、结论

• 买彩票只能作为娱乐，不能作为实现财务自由的正当手段；

三、赌徒输光定理

• 谈完彩票，我们再来谈谈赌博；
• 赌钱能够让我们财务自由吗？

1、举例

假设赌徒的初始资金为 $n$，每赌一次或输或赢，资金分别变为 $n+1$ 和 $n-1$。输赢概率对等，求一直赌下去资金变为 $0$ 的概率是多少？

• 假设从 $n$ 开始一直赌下去，资金变为 $0$ 的概率是 $T(n)$，那么很显然，有如下公式：
  $$T(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=0\\ p& n=1\\ 0.5\ast T(n+1)+0.5\ast T(n-1)& n>1\end{array}$$

2、解释

• 1）$T(0)$ 表示资金是从 $0$ 变成 $0$ 的概率，是个必然事件，所以概率为 1；
• 2）$T(1)$ 表示资金从 $1$ 变成 $0$ 的概率，因为有可能能赢，所以依赖 $T(2)$，但是 $T(2)$ 也依赖 $T(1)$，所以这里定义 $T(1)$ 为某个常量 $p$；
• 3）当资金为 $n+1$ 的时候，如果输了，概率为 $0.5$，资金就变成 $n$；
• 4）当资金为 $n-1$ 的时候，如果赢了，概率为 $0.5$， 资金就变成 $n$；

3、状态转移图

• 根据上文提到的状态转移，有如下状态转移图：

4、递推公式

• 再回头来看 ：
  $$T(n)=0.5\ast T(n+1)+0.5\ast T(n-1)$$
• 通过移项，将它转换成递推公式如下：
  $$T(n+1)=2T(n)-T(n-1)(n>=1)$$
• 将 $n$ 进行标准化，得到：
  $$T(n)=2T(n-1)-T(n-2)(n>=2)$$

5、通项公式

• 通过移项后得到：
  $$\frac{T(n)-T(n-1)}{T(n-1)-T(n-2)}=1$$
• 通过累乘得到：
  $$\frac{T(n)-T(n-1)}{T(n-1)-T(n-2)}\ast \frac{T(n-1)-T(n-2)}{T(n-2)-T(n-3)}\ast ...\ast \frac{T(2)-T(1)}{T(1)-T(0)}=\underset{\mathrm{n}-1}{\underbrace{1\ast 1...1}}$$
• 从而得到：
  $$T(n)-T(n-1)=p-1$$
• 说明 $T(n)$ 是一个等差数列，并且 $T(n)$ 的通项公式如下：
  $$T(n)=np-(n-1)$$

6、久赌必输

【推导1】

• 因为 $T(n)$ 是概率，所以可以得出 $T(n)>=0$恒成立，代入通项公式得到：
  $$p>=1-\frac{1}{n}$$
• 要对所有的 $n$ 成立，那么 $p$ 只能等于 $1$；

【推导2】

• 另外一种方法是：因为 $p$ 是概率，所以一定小于等于 $1$，于是得到：
  $$T(n)-T(n-1)=p-1<=0$$
  即：$T(n)<=T(n-1)$，如果$T(n)<T(n-1)$ 则说明钱越多输的光的概率越大，这个貌似不太科学，所以只有 $T(n)$ 和 $T(n-1)$ 一开始就是相等的情况，所以$$T(n)-T(n-1)=0$$，从而得出 $p=1$;
• 所以，无论你有多少钱，只要你一直在赌，那么最后输光的概率就是 100%；

四、结语

• 作为程序员，我们还是要认清自己，如果真的想要在 40 岁后能够有足够陪伴家人的时间，光靠替别人打工肯定是不行的，需要有睡后收入，保证足够工作时间的前提下，同时要想办法提升自己的技术能力，成为核心竞争力，不只是公司的，而是业界的乃至整个互联网的核心竞争力；