利用栈解析算术表达式

在没有接触到栈这种数据结构时，一直觉得用程序计算四则表达式是件相当繁琐的事。但利用栈，问题就立刻变得容易许多。

何为解析算术表达式？

解析任何包括 + , - , * , / , () 和0到9数字组成的算术表达式，并计算其结果。

中缀表达式和后缀表达式

中缀表达式就是通常所说的算术表达式，比如(1+2)*3-4。

后缀表达式是指通过解析后，运算符在运算数之后的表达式，比如上式解析成后缀表达式就是12+3*4-。这种表达式可以直接利用栈来求解。

运算符的优先级

优先级	运算符
1	括号 ()
2	负号 -
3	乘方 **
4	乘 *，除 /，求余 %
5	加 +，减 -
6	小于<，小于等于<=，大于>，大于等于>=
7	等于==，不等于!=
8	逻辑与
9	逻辑或

即：一元运算符 > 二元运算符 > 多元运算符

解析过程

中缀表达式翻译成后缀表达式

1. 从左向右依次取得数据a
2. 如果 a 是数字，直接输出
3. 如果 a 是运算符（含左右括号），则：
   
   • 如果 a =’(‘，放入堆栈。
   • 如果 a =’)’，依次输出堆栈中的运算符，直到遇到’(‘为止
   • 如果 a 不是’)’或者’(‘，那么就和栈顶位置的运算符 top 做优先级比较
     
     • 如果 a 优先级比 top 高，那么将 a 放入堆栈
     • 如果 a 优先级低于或者等于 top，那么输出 top，然后将 a 放入堆栈
4. 如果表达式已经读取完成，而栈中还有运算符时，依次由顶端输出

如果我们有表达式 (A-B)*C+D-E/F，要翻译成后缀表达式，并且把后缀表达式存储在一个名叫output的字符串中，可以用下面的步骤。

1. 读取’(‘，压入堆栈，output为空
2. 读取A，是运算数，直接输出到output字符串，output = A
3. 读取’-‘，此时栈里面只有一个’(‘，因此将’-‘压入栈，output = A
4. 读取B，是运算数，直接输出到output字符串，output = AB
5. 读取’)’，这时候依次输出栈里面的运算符’-‘，然后就是’(‘，直接弹出，output = AB-
6. 读取’*’，是运算符，由于此时栈为空，因此直接压入栈，output = AB-
7. 读取C，是运算数，直接输出到output字符串，output = AB-C
8. 读取’+’，是运算符，它的优先级比’‘低，那么弹出’‘，压入’+”，output = AB-C*
9. 读取D，是运算数，直接输出到output字符串，output = AB-C*D
10. 读取’-‘，是运算符，和’+’的优先级一样，因此弹出’+’，然后压入’-‘，output = AB-C*D+
11. 读取E，是运算数，直接输出到output字符串，output = AB-C*D+E
12. 读取’/’，是运算符，比’-‘的优先级高，因此压入栈，output = AB-C*D+E
13. 读取F，是运算数，直接输出到output字符串，output = AB-C*D+EF
14. 原始字符串已经读取完毕，将栈里面剩余的运算符依次弹出，output = AB-C*D+EF/-

计算算术表达式

当有了后缀表达式以后，运算表达式的值就非常容易了。可以按照下面的流程来计算。

1. 从左向右扫描表达式，一个取出一个数据data
2. 如果 data 是操作数，就压入堆栈
3. 如果 data 是操作符，就从堆栈中弹出此操作符需要用到的数据的个数，进行运算，然后把结果压入堆栈
4. 如果数据处理完毕，堆栈中最后剩余的数据就是最终结果

比如我们要处理一个后缀表达式1234+*+65/-，那么具体的步骤如下：

1. 首先1，2，3，4都是操作数，将它们都压入栈
2. 取得’+’，为运算符，弹出数据3，4，得到结果7，然后将7压入栈
3. 取得’*’，为运算符，弹出数据7，2，得到数据14，然后将14压入栈
4. 取得’+’，为运算符，弹出数据14，1，得到结果15，然后将15压入栈
5. 6，5都是数据，都压入栈
6. 取得’/’，为运算符，弹出数据6，5，得到结果1.2，然后将1.2压入栈
7. 取得’-‘，为运算符，弹出数据15，1.2，得到数据13.8，这就是最后的运算结果

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大部分参考自 chenpeggy 的利用堆栈解析算术表达式，收获颇丰，故有此文。