CodeFroce Round 340 div2 E XOR and Favorite Number【莫队算法】

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原文链接：http://www.cnblogs.com/SCaryon/p/7374984.html

本文介绍了一种使用莫队算法解决复杂数组查询问题的方法，特别是针对异或操作的查询。通过预处理前缀和及运用异或性质，文章详细解释了如何有效地计算指定子数组中满足特定异或条件的元素对数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面：

Bob has a favorite number k and ai of length n. Now he asks you to answer m queries. Each query is given by a pair li and ri and asks you to count the number of pairs of integers i and j, such that l ≤ i ≤ j ≤ r and the xor of the numbers ai, ai + 1, …, aj is equal to k.

Input
The first line of the input contains integers n, m and k (1 ≤ n, m ≤ 100 000, 0 ≤ k ≤ 1 000 000) — the length of the array, the number of queries and Bob’s favorite number respectively.

The second line contains n integers ai (0 ≤ ai ≤ 1 000 000) — Bob’s array.

Then m lines follow. The i-th line contains integers li and ri (1 ≤ li ≤ ri ≤ n) — the parameters of the i-th query.

Output
Print m lines, answer the queries in the order they appear in the input.

Examples
input
6 2 3
1 2 1 1 0 3
1 6
3 5
output
7
0
input
5 3 1
1 1 1 1 1
1 5
2 4
1 3
output
9
4
4
Note
In the first sample the suitable pairs of i and j for the first query are: (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 6), (5, 6), (6, 6). Not a single of these pairs is suitable for the second query.

In the second sample xor equals 1 for all subarrays of an odd length.

大致思路：

对于数组中的每一个数求前缀和，公式为：
pref[i]=pref[i-1]^a[i]

然后根据异或的性质可以知道：
a[i] ^ a[i+1]^…..^a[j]=pref[j]-pref[i-1]

还有一个公式：

a^b=k 可以推出： a^k=b
这样就可以利用莫队算法了来解决这道题了。
首先需要开一个大小为2^20的桶（虽然题上说数据只到1e6，但异或之后的值是有可能比1e6大的，那就干脆开大一点）
然后bow[i]的意思是异或值为i的数在区间内出现了几次。这样修改区间的时候就可以利用这个桶对答案进行修改。具体见代码。

然后是关于莫队算法说一些自己的理解

莫队算法的核心是分块+提前知道询问区间。
也就是这些询问操作都是离线的，中间不能对区间有修改。然后就是根据块将询问排序，然后就暴力开始让L和R变化到询问区间，这样使得减少L，R的无效操作从而加快查询效率。

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn=1<<20;
 5 struct node{
 6     int l,r,id;
 7 }query[maxn];//储存询问的结构体数组
 8 ll a[maxn],ans[maxn],Ans=0;
 9 int bow[maxn],size,pos[maxn],k;
10 bool cmp(node a,node b)//根据分块进行排序
11 {
12     if(pos[a.l]==pos[b.l])
13         return a.r<b.r;
14     return pos[a.l]<pos[b.l];
15 }
16 void add(int x)
17 {
18     Ans+=bow[a[x]^k];//利用公式可以得到在x为结束点，异或值为k的对数
19     bow[a[x]]++;
20 }
21 void del(int x)
22 {
23     bow[a[x]]--;
24     Ans-=bow[a[x]^k];
25 }
26 int main()
27 {
28     ios::sync_with_stdio(false);
29     int n,m;
30     cin>>n>>m>>k;
31     size=sqrt(n);
32     for(int i=1;i<=n;++i){
33         cin>>a[i];
34         a[i]=a[i]^a[i-1];
35         pos[i]=i/size;//分块
36     }
37     for(int i=1;i<=m;++i){
38         cin>>query[i].l>>query[i].r;
39         query[i].id=i;
40     }
41     bow[0]=1;
42     sort(query+1,query+m+1,cmp);
43     int L=1,R=0;
44     for(int i=1;i<=m;++i){
45         while(L<query[i].l)//调整区间
46         {
47             del(L-1);//这里的顺序是根据第二个公式得到
48             ++L;
49         }
50         while(L>query[i].l)
51         {
52             --L;
53             add(L-1);
54         }
55         while(R<query[i].r)
56         {
57             ++R;
58             add(R);
59         }
60         while(R>query[i].r)
61         {
62             del(R);
63             --R;
64         }
65         ans[query[i].id]=Ans;
66     }
67     for(int i=1;i<=m;++i)
68         cout<<ans[i]<<endl;
69     return 0;
70 }