最长共用子序列问题LCS（Python实现）

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#最长共用子序列 #LCS

为了统一化操作且不越界，保证s的长度小于t的长度。内部循环比较过程中，若相等，则为pre[ni-1]+1，否则为pre[ni]与cur[ni-1]的最大值。

def longest_common_sub(s, t):
    if len(s) > len(t):
        s, t = t, s
    n, m = len(s), len(t)
    pre, cur = [0]*(n+1), [0]*(m+1)
    for mi in range(1, m+1):
        pre, cur = cur, pre
        for ni in range(1, n+1):
            if s[ni-1] == t[mi-1]:
                cur[ni] = pre[ni-1]+1
            else:
                cur[ni] = max(cur[ni-1], pre[ni])
    return cur[-1]


s, t = 'watkins', 'watson'
print(longest_common_sub(s, t))     # 4

（最近更新：2019年09月06日）

python【数据结构与算法】LCS详解（附代码）
NJU phd 在读。
10-10 1138
文章目录1 定义2 代码实现 1 定义 2 代码实现 def lcs_length(x,y): m=len(x) n=len(y) c=[[0 for i in range(n+1)] for j in range(m+1)] for i in range(1,m+1): for j in range(1,n+1): if x[i-1]==y[j-1]: c[i][j]=c[i-1][j-1]
最大连续子序列和Python
qq_42907161的博客
07-30 874
问题 给你一个整数list L, 如 L=[2,-3,3,50], 求L的一个连续子序列，使其和最大，输出最大子序列的和。 例如，对于L=[2,-3,3,50]， 输出53 方法一：暴力破解 最简单的方法就是直接求解出所有的子序列之和，然后比较子序列之和，求出最大值。那么如何求解子序列呢？首先子序列的起始位置可能是任意的，结束位置也可以是任意的。可以一层循环确定子序列的起始位置，嵌套一层循环确定子序列的结束位置并求和，（这里我简化了，直接利用上一个子序列的结果进一步求和），添加到空列表中。 sums = 0
[数据结构与算法] 最长公共子序列 LCS问题 python
q742971636的博客
01-07 398
最长公共子序列（LCS）是一个在一个序列集合中（通常为两个序列）用来查找所有序列中最长子序列的问题。这与查找最长公共子串的问题不同的地方是：子序列不需要在原序列中占用连续的位置 。最长公共子序列问题是一个经典的计算机科学问题，也是数据比较程序，比如Diff工具，和生物信息学应用的基础。它也被广泛地应用在版本控制，比如Git用来调和文件之间的改变。 使用递归解决LCS问题 https://www.b...
python数据结构与算法练习-动态规划（最长重复子数组）
xdjuanbujuan的博客
02-28 576
python数据结构与算法练习-动态规划问题最长重复子数组python实现 最长重复子数组 链接: link. 给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。 示例 1： 输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7] 输出：3 解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。 示例 2： 输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0] 输出：5 思路： 首先注意一点：
算法导论,动态规划 —— 最长公共子序列问题（LCS）优化python示例
chikuitu2122的博客
01-01 525
# coding=utf-8 # 计算LCS长度算法 算法 改进 只用 一行 和 一个 额外空间 求得长度 空间复杂度由O(m*n)降低为O(n) # 空间优化。观察状态转移方程，计算的F[i,j]时只和F[i-1,j-1]，F[i,j-1]，F[i-1,j]三个元素直接相关。...
[Python]一、Python基础编程（1）
weixin_44428807的博客
09-18 1200
学习成本低开源适应人群广泛应用领域广泛。
lanqiao
m0_73673698的博客
02-05 305
输入整数n，然后输入n个人的姓名（字符个数不超过30）和对应的生日(格式：年-月-日，年月日都是整数)。输入n个学生的姓名和对应的生日(格式：年-月-日)，输出年龄最小的学生的姓名（假设该学生是唯一的）。年龄最小的学生的姓名。
动态规划背包问题分类与解决方案总结 背包问题是组合优化领域经典问题，核心目标为：给定容量限制的背包与若干带“消耗属性”（如重量、体积）和“价值属性”的物品，通过合理选物品使总价值最大化，且总消耗不超背包容量。按物品选取规则、约束条件可分为7类核心场景，以下从核心特点、数学模型、DP解法（含状态定义、转移方程）、优化技巧、适用场景展开详细总结。 一、0-1背包问题（基础核心） 1. 核心特点 每个物品仅能选或不选（二选一，无中间状态），不可重复选取、不可分割。 2. 数学模型 - 输入：n个物品，物品i的消耗（如重量） w_i 、价值 v_i ；背包最大容量 W 。 - 决策变量： x_i \in \{0,1\} （ x_i=1 选物品i， x_i=0 不选）。 - 目标函数：最大化总价值 \max \sum_{i=1}^n v_i x_i 。 - 约束条件：总消耗不超容量 \sum_{i=1}^n w_i x_i \leq W 。 3. DP解法 （1）二维DP（原始版，无空间优化） - 状态定义： dp[i][j] 表示前i个物品中选，背包容量为j时的最大价值。 - 转移方程： dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j] & (j < w_i，无法选物品i) \\ \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i) & (j \geq w_i，选/不选物品i取最大值) \end{cases} - 初始化： dp[0][j]=0 （前0个物品，价值恒为0）、 dp[i][0]=0 （容量为0，无法选物品，价值恒为0）。 - 时间复杂度： O(nW) ，空间复杂度： O(nW) 。 （2）一维DP（空间优化版，常用） - 核心逻辑：二维DP中 dp[i][j] 仅依赖 dp[i-1][\cdot] ，可压缩为一维数组，通过“逆序遍历容量”避免重复选同一物品。 - 状态定义： dp[j] 表示背包容量为j时的最大价值。 - 转移方程： dp[j] = \max(dp[j], dp[j-w_i] + v_i) \quad (j从W逆序遍历至w_i) - 初始化： dp[0]=0 ，其余 dp[j]=0 （或负无穷，视是否允许“空选”调整）。 - 时间复杂度： O(nW) ，空间复杂度： O(W) 。 4. 扩展：统计选法方案数 - 目标：统计“总消耗≤j且总价值达标”（或仅“总消耗=j”）的选法数量，不关注价值大小。 - 转移方程： dp[j] += dp[j-w_i] （j从W逆序遍历至w_i）。 - 初始化： dp[0]=1 （容量0时，“不选任何物品”为1种方案），其余 dp[j]=0 。 5. 适用场景 物品不可重复、数量少（n≤1000）、容量适中（W≤1e4），如“物品选/不选的价值最大化”。 二、完全背包问题 1. 核心特点 每个物品可无限次选取（无数量限制），仅受背包容量约束。 2. 数学模型 - 输入、目标函数、约束条件同0-1背包，仅决策变量调整： x_i \in \{0,1,2,...\} （非负整数，可重复选）。 3. DP解法 （1）二维DP（原始版） - 状态定义：同0-1背包 dp[i][j] （前i个物品、容量j的最大价值）。 - 转移方程： dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j] & (j < w_i，无法选物品i) \\ \max(dp[i-1][j], dp[i][j-w_i] + v_i) & (j \geq w_i，选物品i后可继续选同一物品) \end{cases} - 时间复杂度： O(nW) ，空间复杂度： O(nW) 。 （2）一维DP（空间优化版，常用） - 核心逻辑：允许重复选物品，故“正序遍历容量”（选当前物品后，后续容量可复用该物品）。 - 状态定义：同0-1背包一维版 dp[j] 。 - 转移方程： dp[j] = \max(dp[j], dp[j-w_i] + v_i) \quad (j从w_i正序遍历至W) - 初始化： dp[0]=0 ，其余 dp[j]=0 。 - 时间复杂度： O(nW) ，空间复杂度： O(W) 。 4. 数学优化（辅助技巧） 计算物品单位消耗价值 \frac{v_i}{w_i} ，优先选性价比高的物品，可快速得到近似最优解；但因容量可能无法整除消耗，需结合DP修正精确解。 5. 扩展：统计选法方案数 - 转移方程： dp[j] += dp[j-w_i] （j从w_i正序遍历至W）。 - 初始化： dp[0]=1 ，其余 dp[j]=0 。 6. 适用场景 物品可重复使用，如“硬币兑换（不限硬币数量，凑指定金额）”“材料无限，制作物品价值最大化”。 三、多重背包问题 1. 核心特点 每个物品有固定数量限制 c_i （最多选 c_i 个），介于0-1背包（ c_i=1 ）与完全背包（ c_i→∞ ）之间。 2. 数学模型 - 输入、目标函数、约束条件同前，决策变量调整： x_i \in \{0,1,...,c_i\} （选数≤物品上限）。 3. DP解法 （1）直接法（暴力枚举，不推荐） - 状态定义： dp[j] （容量j的最大价值）。 - 转移方程： dp[j] = \max(dp[j], dp[j-k \cdot w_i] + k \cdot v_i) \quad (0 \leq k \leq c_i，且j \geq k \cdot w_i) - 时间复杂度： O(nW \sum c_i) ，效率极低，仅适用于 c_i 极小场景。 （2）二进制优化（常用，高效） - 核心逻辑：将物品数量 c_i 拆分为 \log_2 c_i 个“新物品”（如 c_i=5 拆为1、2、2， c_i=7 拆为1、2、4），新物品重量=原重量×拆分系数，价值=原价值×拆分系数，转化为0-1背包求解（新物品选/不选对应原物品选对应数量）。 - 转移方程：复用0-1背包一维DP方程（ dp[j] = \max(dp[j], dp[j-w_{新}] + v_{新}) ，j逆序遍历）。 - 时间复杂度： O(nW \log c_i) ，空间复杂度： O(W) ，适配多数场景。 （3）单调队列优化（极限优化，大数据量） - 核心逻辑：通过滑动窗口维护“容量j附近可选取的最优价值”，消除枚举k的冗余步骤，将时间复杂度降至线性。 - 转移方程推导：对容量j按 j \mod w_i = r 分组（r=0,1,...,w_i-1），每组内 j = r + t \cdot w_i ，方程转化为： dp[r + t \cdot w_i] = \max(dp[r + (t-k) \cdot w_i] + k \cdot v_i) \quad (0 \leq k \leq \min(c_i, t)) 用单调队列维护 dp[r + (t-k) \cdot w_i] - (t-k) \cdot v_i 的最大值，直接取队首更新当前dp值。 - 时间复杂度： O(nW) ，空间复杂度： O(W) ，适用于 W≥1e5 的大数据场景。 4. 扩展：统计选法方案数 - 二进制优化后复用0-1背包方案数方程，直接法复用枚举k的累加方程（ dp[j] += dp[j-k \cdot w_i] ）。 - 初始化： dp[0]=1 ，其余 dp[j]=0 。 5. 适用场景 物品有数量限制，如“商品限购、材料库存有限，选物品价值最大化”。 四、混合背包问题 1. 核心特点 同一问题中同时包含0-1背包物品（选1次）、完全背包物品（选无限次）、多重背包物品（选有限次），需分类型处理物品。 2. 解法核心 - 分类适配策略： 1. 0-1背包物品：直接用一维DP逆序遍历容量更新； 2. 完全背包物品：直接用一维DP正序遍历容量更新； 3. 多重背包物品：先二进制拆分（或单调队列优化），转化为0-1背包后逆序遍历更新。 - 状态定义： dp[j] （容量j的最大价值），全局共用一个DP数组。 - 转移方程：按物品类型复用对应背包的一维转移方程，遍历顺序为“先遍历物品→再按类型遍历容量”。 3. 时间复杂度 取决于各类物品占比，整体为 O(nW + n_多 W \log c_i) （ n_多 为多重背包物品数量），空间复杂度 O(W) 。 4. 适用场景 多类型物品共存，如“购物时部分商品限购、部分不限购、部分仅一件”。 五、分组背包问题 1. 核心特点 物品按类别分组，每组内至少选0个、最多选1个物品（组间独立，组内互斥）。 2. 数学模型 - 输入：m组物品，第k组含 s_k 个物品，组内物品i的消耗 w_{k,i} 、价值 v_{k,i} ；背包容量 W 。 - 决策变量：每组内仅1个物品 x_{k,i}=1 （或全为0），其余 x_{k,i}=0 。 - 目标函数： \max \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^{s_k} v_{k,i} x_{k,i} ，约束条件： \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^{s_k} w_{k,i} x_{k,i} \leq W 。 3. DP解法 - 核心逻辑：先遍历组→再逆序遍历容量（避免组内选多个物品）→最后遍历组内物品，按“选组内某物品/不选组内任何物品”更新DP。 - 状态定义： dp[j] （容量j的最大价值）。 - 转移方程： dp[j] = \max(dp[j], dp[j-w_{k,i}] + v_{k,i}) \quad (先遍历组k→j从W逆序至w_{k,i}→遍历组k内物品i) - 初始化： dp[0]=0 ，其余 dp[j]=0 。 - 时间复杂度： O(mW \bar{s}) （ \bar{s} 为每组平均物品数），空间复杂度 O(W) 。 4. 扩展：统计选法方案数 - 转移方程： dp[j] += dp[j-w_{k,i}] （遍历顺序同上，j逆序）。 - 初始化： dp[0]=1 ，其余 dp[j]=0 。 5. 适用场景 物品分组且组内互斥，如“考试选做题（每组1道，选1道或不选）、套餐选择（每组1个套餐，选1个或不选）”。 六、二维费用背包问题 1. 核心特点 物品需消耗两类资源（如重量+体积、重量+金额），背包对两类资源均有容量限制（如背包限重W、限体积V），分0-1型与完全型。 2. 数学模型（以0-1型为例） - 输入：n个物品，物品i消耗资源1 w_{i1} 、资源2 w_{i2} ，价值 v_i ；背包资源1容量 W 、资源2容量 V 。 - 目标函数： \max \sum_{i=1}^n v_i x_i ，约束条件： \sum_{i=1}^n w_{i1} x_i \leq W 、 \sum_{i=1}^n w_{i2} x_i \leq V ， x_i \in \{0,1\} 。 3. DP解法 （1）二维DP（原始版） - 状态定义： dp[i][j][k] 表示前i个物品、资源1容量j、资源2容量k时的最大价值。 - 转移方程（0-1型）： dp[i][j][k] = \begin{cases} dp[i-1][j][k] & (j < w_{i1} 或 k < w_{i2}) \\ \max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j-w_{i1}][k-w_{i2}] + v_i) & (j \geq w_{i1} 且 k \geq w_{i2}) \end{cases} - 时间复杂度： O(nWV) ，空间复杂度： O(nWV) 。 （2）二维滚动数组（空间优化版，常用） - 核心逻辑：压缩物品维度，用二维数组 dp[j][k] 表示资源1容量j、资源2容量k的最大价值，0-1型需“双逆序遍历资源”，完全型需“双正序遍历资源”。 - 转移方程（0-1型）： dp[j][k] = \max(dp[j][k], dp[j-w_{i1}][k-w_{i2}] + v_i) \quad (j从W逆序至w_{i1}，k从V逆序至w_{i2}) - 转移方程（完全型）： dp[j][k] = \max(dp[j][k], dp[j-w_{i1}][k-w_{i2}] + v_i) \quad (j从w_{i1}正序至W，k从w_{i2}正序至V) - 初始化： dp[0][0]=0 ，其余 dp[j][k]=0 。 - 时间复杂度： O(nWV) ，空间复杂度： O(WV) 。 4. 适用场景 物品消耗多类资源，如“行李箱限重且限体积，选物品价值最大化”“项目限资金且限时间，选任务收益最大化”。 七、背包问题通用总结 1. 核心共性 - 本质：通过DP存储“局部容量下的最优价值/方案数”，避免重复计算，核心是“状态定义+转移逻辑”； - 空间优化优先级：二维DP→一维滚动数组（单/多资源维度），优先压缩物品维度； - 时间优化核心：减少冗余枚举（如二进制拆分消除k枚举、单调队列优化滑动窗口）。 2. 关键差异对比表 背包类型 物品选取规则 核心遍历顺序 核心优化技巧 时间复杂度 核心场景 0-1背包 选1次或不选 容量逆序 一维滚动数组   物品不可重复 完全背包 无限次选 容量正序 一维滚动数组   物品可重复使用 多重背包 最多选 次 逆序（拆分后） 二进制拆分、单调队列   物品有数量限制 混合背包 0-1+完全+多重共存 分类型定顺序 分类适配 适配多类型复杂度 多规则物品共存 分组背包 组内最多选1个 组→逆序容量→组内物品 组内遍历控制   物品分组且组内互斥 二维费用背包 消耗两类资源，选1次/无限次 双资源逆序/正序 二维滚动数组   物品消耗多类资源 3. 解题步骤 1. 明确物品类型（选法规则、消耗资源数）与背包约束（容量/资源上限）； 2. 定义DP状态（单/多维度，对应资源容量，明确存储含义：价值/方案数）； 3. 推导转移方程（按“选/不选当前物品”拆分，适配选取规则）； 4. 确定初始化值（按“空容量/空物品”场景赋值，方案数必设 dp[0...]=1 ）； 5. 优化空间/时间（优先一维数组，大数据量补二进制/单调队列优化）； 6. 验证边界（如容量不足、物品数量为0的极端场景）。 通过以上分类与解法，可覆盖绝大多数背包问题场景，核心是掌握“选法规则→遍历顺序→优化技巧”的对应关系，灵活适配具体需求。 帮我补充修改
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我们正在撰写一个关于动态规划背包问题的分类与解决方案总结文档。根据用户需求，我们需要详细描述各类背包问题（0-1背包、...- **组合优化**：动态规划作为核心方法，可延伸至最长公共子序列（LCS）等问题[^3]。 ---
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输入： 第一行：字符串w1 第二行：字符串w2 w1和w2长度小于等于1000 输出： 输出最长的子序列和它的长度 w1 = "" # 矩阵行，有len(w1)行 w2 = "" # 矩阵列，有len(w2)列 a = [] # 存放一种子序列（w1,w2相同字符在w2中的索引） A = [] # 存放所有的子序列 best_a = [] # 存放最长的子序列 best_len_a = 0 # 最长子序列的长度 # 冲突检测 def conflict(k): global w1, w
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一、LCS(最长公共子串)python实现 LCS问题就是求两个字符串最大相同的公共子串；我们现假设有两个字符串X,Y。其长度分别为m,n 我们从X,Y两个字符串的最后一个字符串开始看起 如果 Xm = Yn: LCS(X, Y) = LCS(Xm-1, Yn-1)+ "Xm" 如果Xm ！= Yn： LCS(X,Y) = max(LCS(Xm-1,Yn), LCS(Xm, Y...
算法导论,动态规划 —— 最长公共子序列问题（LCS,python示例）
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# coding=utf-8 # 计算LCS长度算法 # 算法导论课本 动态规划 LCS 代码示例 # LCS 根据伪码 使用 python实现 def lcsLength(x,y): m = len(x) + 1 n = len(y) + 1 ...
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给定一个未排序的整数数组，找出最长连续序列的长度。 要求算法的时间复杂度为 O(n)。 示例: 输入: [100, 4, 200, 1, 3, 2] 输出: 4 解释: 最长连续序列是 [1, 2, 3, 4]。它的长度为 4。 思路: 遍历每个数，若是起点数那么就找他的下一个维护最大值 代码 class Solution: def longestConsecutive(self, num...
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04-09 989
def LCS_Length(seq1,seq2): len1,len2=len(seq1),len(seq2) countLength=[ [ 0 for col in xrange(len2)] for row in xrange(len1) ] backmark=[ [ (0,0) for col in xrange(len2)] for row in xran
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参考最长公共子序列LCS动态规划状态转移方程式这里写图片描述Python递归def LCS(a, b):if a == '' or b == '':return ''elif a[-1] == b[-1]:return LCS(a[:-1], b[:-1]) + a[-1]else:sol_a = LCS(a[:-1], b)sol_b = LCS(a, b[:-1])if len(sol_a) ...
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