Query on a tree 树链剖分 第一次写

本文介绍了一种利用树状结构进行高效路径查询的方法,并通过线段树实现节点属性的快速更新与查询优化。文章详细展示了如何构建树形结构、进行节点划分以及线段树的具体实现细节。
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <stack>

using namespace std;
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define pi acos(-1.0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define lson (u<<1)
#define rson (u<<1|1)
#define N 10100
#define M 100100

int n;
int h[N],vv[M],nxt[M],ww[M],e;
int sz[N],son[N],fa[N],top[N],dep[N];
int eid[N],E,cost[N];
int re[N];

int ma[N<<2];

void add(int u,int v,int w)
{
	vv[e] = v, ww[e] = w, nxt[e] = h[u], h[u] = e++;
	vv[e] = u, ww[e] = w, nxt[e] = h[v], h[v] = e++;

}
void dfs1(int u,int f,int d){
	sz[u] = 1, fa[u] = f, dep[u] = d;
	son[u] = -1;
	for(int i=h[u];i+1;i=nxt[i])
	{
		int v = vv[i];
		if(v==f) continue;
		dfs1(v,u,d+1);
		if(son[u]==-1||sz[vv[son[u]]]<sz[v]) {
			son[u] = i;
		}
		sz[u] += sz[v];

	}

}
void dfs2(int u,int f)
{
	top[u] = u;

	if(f+1) {
        int fv = vv[f^1];
		top[u] = ( son[fv]==f ? top[fv]:u );
		re[u] = ++E;
		eid[f/2+1] = E;
		cost[E] = ww[f];
	}

	if(son[u]+1){

		dfs2(vv[son[u]],son[u]);
	}
	for(int i=h[u];i+1;i=nxt[i]){
		int v = vv[i];
		if(v==fa[u]||i==son[u]) continue;
		dfs2(v,i);
	}

}

void pushUp(int u){
	ma[u] = max(ma[lson],ma[rson]);
}
void build(int u,int l,int r){
	if(l>=r){
		ma[u] = cost[l];
		return;
	}
	int mid = (l+r)>>1;
	build(lson,l,mid);
	build(rson,mid+1,r);
	pushUp(u);
}
void update(int u,int l,int r,int pos,int val){
	if(l>=r){
		ma[u] = val;
		return;
	}
	int mid = (l+r)>>1;
	if(pos<=mid) update(lson,l,mid,pos,val);
	else update(rson,mid+1,r,pos,val);
	pushUp(u);
}
int query(int u,int L,int R,int l,int r){
	if(l<=L&&R<=r){
		return ma[u];
	}
	if(l>R||r<L) return 0;
	int mid = (L+R)>>1;
	return max(query(lson,L,mid,l,r),query(rson,mid+1,R,l,r));

}
int cal(int u,int v)
{
	int ret = 0;
	int f1 = top[u],f2 = top[v];
	while(f1!=f2){
		if(dep[f1]<dep[f2]){
			swap(f1,f2);
			swap(u,v);
		}
		ret = max(ret,query(1,1,E,re[f1],re[u]));
		u = fa[f1],f1 = top[u];

	}
	if(u==v) return ret;
	if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
	return max(ret,query(1,1,E,re[vv[son[u]]],re[v]));
}
int main()
{
	char op[20];
	int T,a,b,c;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{

		memset(h,-1,sizeof(h));
		E = e = 0;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<n;i++)
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),add(a,b,c);

		dfs1(1,-1,1);

		dfs2(1,-1);

		build(1,1,E);

		while(~scanf("%s",op))
		{
			if(strcmp(op,"DONE")==0) break;
			scanf("%d%d",&a,&b);
			if(strcmp(op,"CHANGE")==0){
				update(1,1,E,eid[a],b);
			}
			else
				printf("%d\n",cal(a,b));
		}

	}


}

在解决 [ABC133F] Colorful Tree 问题时,树链剖分是一种有效的方法。树链剖分可以将树上的路径问题转化为区间问题,结合线段树等数据结构进行高效处理。 ### 树链剖分的基本思路 树链剖分主要分为重链剖分,其核心是将树拆分成若干条不相交的链,使得任意两点之间的路径可以由 $O(\log n)$ 条链组成。具体步骤如下: 1. **求出每个节点的子树大小、重儿子等信息**:通过一次深度优先搜索(DFS),计算每个节点的子树大小 `sz[u]`,并找出每个节点的重儿子 `son[u]`。重儿子是指子树大小最大的儿子节点。 ```python # 第一次 DFS,计算子树大小和重儿子 def dfs1(u, fa): sz[u] = 1 for v in graph[u]: if v == fa: continue dep[v] = dep[u] + 1 fa[v] = u dfs1(v, u) sz[u] += sz[v] if sz[v] > sz[son[u]]: son[u] = v ``` 2. **进行链的划分**:通过第二次深度优先搜索(DFS),将树划分为若干条链,为每个节点分配一个新的编号 `id[u]`,并记录每个节点所在链的顶端节点 `top[u]`。 ```python # 第二次 DFS,划分链 def dfs2(u, t): global idx id[u] = idx idx += 1 top[u] = t if son[u]: dfs2(son[u], t) for v in graph[u]: if v == fa[u] or v == son[u]: continue dfs2(v, v) ``` ### 结合线段树处理路径修改和查询 在完成树链剖分后,对于树上的路径修改和查询问题,可以将路径拆分成若干条链,然后利用线段树对这些链对应的区间进行操作。 1. **路径修改**:对于树上两点 $u$ 和 $v$ 之间的路径修改,可以将路径拆分成若干条链,然后对每条链对应的区间进行修改。 ```python # 路径修改 def update_path(u, v, val): while top[u] != top[v]: if dep[top[u]] < dep[top[v]]: u, v = v, u update(1, 1, n, id[top[u]], id[u], val) u = fa[top[u]] if dep[u] > dep[v]: u, v = v, u update(1, 1, n, id[u], id[v], val) ``` 2. **单点查询**:对于单点查询,可以直接查询该节点对应的线段树区间的值。 ```python # 单点查询 def query_point(u): return query(1, 1, n, id[u], id[u]) ``` ### 完整代码示例 ```python n, q = map(int, input().split()) graph = [[] for _ in range(n + 1)] for _ in range(n - 1): a, b = map(int, input().split()) graph[a].append(b) graph[b].append(a) # 树链剖分相关数组 sz = [0] * (n + 1) dep = [0] * (n + 1) fa = [0] * (n + 1) son = [0] * (n + 1) id = [0] * (n + 1) top = [0] * (n + 1) idx = 1 # 线段树相关数组 tree = [0] * (4 * n) lazy = [0] * (4 * n) # 第一次 DFS,计算子树大小和重儿子 def dfs1(u, fa): sz[u] = 1 for v in graph[u]: if v == fa: continue dep[v] = dep[u] + 1 fa[v] = u dfs1(v, u) sz[u] += sz[v] if sz[v] > sz[son[u]]: son[u] = v # 第二次 DFS,划分链 def dfs2(u, t): global idx id[u] = idx idx += 1 top[u] = t if son[u]: dfs2(son[u], t) for v in graph[u]: if v == fa[u] or v == son[u]: continue dfs2(v, v) # 线段树的下推操作 def push_down(p, l, r): mid = (l + r) // 2 tree[p * 2] += lazy[p] * (mid - l + 1) tree[p * 2 + 1] += lazy[p] * (r - mid) lazy[p * 2] += lazy[p] lazy[p * 2 + 1] += lazy[p] lazy[p] = 0 # 线段树的区间修改 def update(p, l, r, ql, qr, val): if ql <= l and r <= qr: tree[p] += val * (r - l + 1) lazy[p] += val return push_down(p, l, r) mid = (l + r) // 2 if ql <= mid: update(p * 2, l, mid, ql, qr, val) if qr > mid: update(p * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr, val) tree[p] = tree[p * 2] + tree[p * 2 + 1] # 线段树的单点查询 def query(p, l, r, ql, qr): if ql <= l and r <= qr: return tree[p] push_down(p, l, r) mid = (l + r) // 2 res = 0 if ql <= mid: res += query(p * 2, l, mid, ql, qr) if qr > mid: res += query(p * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr) return res # 路径修改 def update_path(u, v, val): while top[u] != top[v]: if dep[top[u]] < dep[top[v]]: u, v = v, u update(1, 1, n, id[top[u]], id[u], val) u = fa[top[u]] if dep[u] > dep[v]: u, v = v, u update(1, 1, n, id[u], id[v], val) # 单点查询 def query_point(u): return query(1, 1, n, id[u], id[u]) # 初始化树链剖分 dfs1(1, 0) dfs2(1, 1) # 处理操作 for _ in range(q): a, b, c, d = map(int, input().split()) update_path(a, b, 1) update_path(c, d, 1) ans = 0 for i in range(1, n + 1): ans = max(ans, query_point(i)) print(ans) ``` ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:树链剖分的预处理时间复杂度为 $O(n)$,每次路径修改和单点查询的时间复杂度为 $O(\log^2 n)$。 - **空间复杂度**:主要用于存储树链剖分和线段树的相关信息,空间复杂度为 $O(n)$。
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