文章标题 CSU 1849: Comparing answers（矩阵降维+随机化思想）

本文介绍了一种比较两个矩阵是否相等的高效算法。通过引入一维随机向量进行矩阵降维，将原始问题转换为一系列简单乘法操作，从而显著降低了时间复杂度。

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1849: Comparing answers

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题意：题意是有矩阵A，B，然后判断A*A ?= B ，直接做O（n*n*n)
分析：矩阵降维 A*A*C ?= B*C， C 是一维向量运算顺序为 A*(A*C) 时间复杂度为O(N*N)
代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<map>
#include<queue> 
#include<algorithm>
#include<ctime>;

using namespace std;

const double pi=acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn=100005;
const double eps=1e-8; 

int A[1005][1005];
int B[1005][1005];
int tmp[1005];
int n; 
int ans[1005][2];

int judge(){
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (ans[i][0]!=ans[i][1])return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    srand(time(0));
    while (scanf ("%d",&n)!=EOF){
        if (n==0)break;
        memset (A,0,sizeof (A));
        memset (B,0,sizeof (B));
        memset (tmp,0,sizeof (tmp));
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                scanf ("%d",&A[i][j]);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                scanf ("%d",&B[i][j]);
        for (int i=1;i<=n;i++){//随机产生一维向量
            tmp[i]=rand()%8999;
        }
        memset (ans,0,sizeof (ans));
        //计算B*tmp 
        for (int i=1;i<=n;i++){
            for (int j=1;j<=n;j++){
                ans[i][1]+=B[i][j]*tmp[j];
            }
        }
        //计算A*tmp 
        for (int i=1;i<=n;i++){
            for (int j=1;j<=n;j++){
                ans[i][0]+=A[i][j]*tmp[j];
            }
        }
        //将结果存在tmp中 
        for(int i=1;i<=n;i++){
            tmp[i]=ans[i][0];
            ans[i][0]=0;
        } 
        for (int i=1;i<=n;i++){
            for (int j=1;j<=n;j++){
                ans[i][0]+=A[i][j]*tmp[j];
            }
        }
        int flag=judge();
        if (flag)printf ("YES\n");
        else printf ("NO\n"); 
    }
    return 0;
 }