数学建模【马尔科夫预测】

一、马尔科夫模型简介

这里通过一个例子引出马尔科夫模型。

大学生小魏日常处于以下4种状态之一：睡觉、吃饭、打游戏、看动漫。若已知小魏当前处于某种状态，则他未来的状态只与现在有关，而与过去无关。例如已知昨天小魏在睡觉，现在在吃饭，能影响到明天的只有今天的“吃饭”状态。那么明天的状态只与今天的“吃饭”有关，而与昨天的“睡觉”无关。注意，小魏的状态是随机的，只能求明天处于每一种状态的概率，而这概率有只与今天的状态有关，不需要管昨天或更早的状态是什么。描述这种随机现象的模型，称为马尔科夫模型。

从小魏到马尔科夫链

• 离散时间：小魏的昨天为初始时间n=1，则今天为2，明天为3，以及以后得4，5等
• 状态空间：小魏处于睡觉状态记为j=1，则处于吃饭、打游戏、看动漫依次记为2，3，4
• 状态：Xn = j表示第n天小魏处于状态j，例如X3 = 2，表示第3天小魏处于吃饭的状态
• 马尔科夫链：设{Xn, n = 1, 2, ...}是一个随机序列
• 假设已知小魏第1天为状态3即X1 = 3；第2天为状态1即X2 = 1；第3天为状态4即X3 = 4；...；第n天为状态2即Xn = 2
• 那么第n+m天小魏处于状态1的概率：P{Xn+m = 1| Xn = 2, ..., X3 = 4, X2 = 1, X1 = 3} = P{Xn+m = 1| Xn = 2}
• 即条件概率表达式里，一大堆的条件都是无用的，只有第n天的条件才是有用的
• 同样的形式可写出第n+1天小魏处于状态2、状态3和状态4的概率计算式

二、适用赛题

健康与疾病

• 人的健康状态是会随着时间变化的，而变化又是随机的
• 预测一个人下一年的健康状态，只需要看当前的状态，无需关心过去
• 可能与优化模型结合，例如保险公司追求收益最大化，需要预测投保人的健康状态

销售与贮存

• 一些奢侈品例如钢琴，一般销量很小，商店不会贮存太多
• 钢琴每周的销售量也是随机的，进货贮存过多会积压资金，贮存过少又有可能失去销售机会
• 商家需要根据一周的销量决定是否进货

等级结构

• 工程师按照级别分为技术员、助理工程师、中级工程师、副高级工程师和高级工程师
• 一个人明年的级别也是随机的，无论升级还是降级都只与其当前级别有关
• 预测下一年的级别变动，也可用马尔科夫预测

此类问题最基本的特点：状态随机，下一阶段的状态只与当前有关

三、模型流程

四、流程分析

1.一步转移矩阵

这里先介绍一个概念：时齐性

若第n天小魏处于状态i，则经过了m天后，小魏处于状态j的概率满足：

        P{Xn+m = j| Xn = i} = Pij(m)

则称{Xn, n = 1, 2, ...}为时齐的马尔科夫链

• 两种状态转换的概率，只与时间间隔有关，与更早的过去无关，也与起始时刻无关
• 满足这种条件的马尔科夫链，称为时齐的马尔科夫链
• 是否满足时齐，是问题本身决定的（查文献），一般带有周期性的问题才会满足时齐，例如销售类问题，可以在论文的模型假设里写“假设销售规律满足时齐性”
• m = 1时，称Pij(1)为一步转移概率，所有Pij(1)所组成的矩阵为马尔科夫链的一步转移矩阵

假设有x个状态，p为一步转移矩阵，nij为从i转移成j的次数，则有

        

这里小魏的x是4

这样一步转移矩阵就出来了

2.n步后的概率分布

假设该系统初始时4种状态出现的概率为P0 = [0.2, 0.3, 0.3, 0.2]

则系统初始化后，运行到第2步最有可能出现状态几？第5步呢？

这时候就要计算n步后的概率分布了

注意：求“第n步”状态的概率分布，需要根据题目确定究竟是否把“初始化”算作第1步

3.预测

根据问题要求，做出解答

五、补充

1.马尔科夫预测和其他预测有什么不同？

• 其他预测模型：计算的是“数值”，理论上是无数种可能
• 马尔科夫预测：计算的是“概率”，需要有限种已知的可能结

例如根据城市近几年的噪声值，预测下一年的噪声值之类的问题。因为“噪声值”是数值，理论上可以是任何实数，所以有无数种可能的结果，此时就不能用马尔科夫预测。

例如根据某销量很小的奢侈品过去几个月的销量,预测下个月销量。某奢侈品的“销量”只能是正整数，又因为“销量很少”可以根据已知数据假定小于某个正整数(例如月销量不超过10)，此时“销量”有0到10总共11个可能的结果，可以用马尔科夫预测下个月的销量最有可能是几。

2.马尔科夫预测的重难点

• 马尔科夫预测计算过程非常简单，没有复杂原理、公式或推导
• 理解马尔科夫链的核心：未来只与当前有关、与过去无关，以及时齐性
• 能否用马尔科夫预测，是看问题本身决定的