矩阵的旋转平移投影线性变换的原理

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#矩阵线性变换 #矩阵旋转 #矩阵平移

矩阵的投影旋转和平移都可以通过矩阵乘法得到

矩阵投影

Y维度是m * 1 A是m *n的矩阵，X维度是n * 1
通过Y=A * X
可以实现从n维空间的点到m维空间点的线性变换
当m=n时，则可实现同维度空间的矩阵旋转和平移

旋转

将矩阵 $X_A$ 旋转角度a到矩阵 $X_B$
$M=(cosa−sinasinacosa)M=(\begin{matrix} cosa&-sina\\ sina&cosa\end{matrix})$
$XA=(xAyA)X_A=(\begin{matrix} x_A\\ y_A\end{matrix})$
$XB=(xByB)=M∗XAX_B=(\begin{matrix} x_B\\ y_B\end{matrix})=M*X_A$

平移

将矩阵 $X_A$ 平移s到矩阵 $X_B$
$XA=(xAyA)》》》XA=(xAyA1)X_A=(\begin{matrix} x_A\\ y_A\end{matrix})》》》X_A=(\begin{matrix} x_A\\ y_A\\1\end{matrix})$
$M=(10xs01ys001)M=(\begin{matrix} 1&0&x_s\\ 0&1&y_s\\0&0&1\end{matrix})$
$XB=(xByB)=M∗XAX_B=(\begin{matrix} x_B\\ y_B\end{matrix})=M*X_A$

平移旋转

将矩阵 $X_A$ 旋转角度a，同时平移s到矩阵 $X_B$
$M=(cosa−sinaxssinacosays001)M=(\begin{matrix} cosa&-sina&x_s\\sina&cosa&y_s\\0&0&1\end{matrix})$
$XB=(xByB)=M∗XAX_B=(\begin{matrix} x_B\\ y_B\end{matrix})=M*X_A$