1-时间复杂度&空间复杂度

目录

1.算法效率

1.1.时间效率（时间复杂度）——衡量算法运行速度

1.2.空间效率（空间复杂度）——衡量算法所需额外空间（如今不再特别关注）

2.时间复杂度

2.1.概念

2.2.大O的渐进表示法

2.2.1.O(F(n))

2.2.2.大O符号

2.2.3.推导大O阶方法

2.3.分类

2.3.1.最坏情况

2.3.2.平均情况

2.3.3.最好情况

2.4.常见计算

2.4.1.O(n)

2.4.2.O(m+n)

2.4.3.O(1)

2.4.4.O(n^2)

2.4.5.O(logN)

2.4.6.计算阶乘递归——O(n)

2.4.7.斐波那契递归——O(2^n)

2.4.8.O(根号n)

2.5.总结

3.空间复杂度

3.1.概念

3.2.大O渐进表示法

3.3.一般分两种

3.4.常见计算

3.4.1.冒泡排序——O(1)

3.4.2.斐波那契（迭代）——O(n)

3.4.3.求阶乘（递归）——O(n)

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1.算法效率

1.1.时间效率（时间复杂度）——衡量算法运行速度

1.2.空间效率（空间复杂度）——衡量算法所需额外空间（如今不再特别关注）

2.时间复杂度

2.1.概念

算法中的基本操作的执行次数为算法的时间复杂度。（是一函数，主要看循环）

2.2.大O的渐进表示法

2.2.1.O(F(n))

如果n表示数据规模，那么O(F(n))表示算法所执行的指令数，与F(n)成正比。

2.2.2.大O符号

是用于描述函数渐进行为的数学符号。

2.2.3.推导大O阶方法

1).用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2).在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3).如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

例：F(n)=2n^2+2n+10    ->    O(n^2)。

2.3.分类

2.3.1.最坏情况

任意输入规模的最大运行次数（上界）（实际上一般都关注最坏情况，其包含了最高阶）。

2.3.2.平均情况

任意输入规模的期望运行次数（（最好+最坏）/ 2 ）。

2.3.3.最好情况

任意输入规模的最小运行次数（下界）。

2.4.常见计算

2.4.1.O(n)

2n

10

->(2n+10) -> O(n)

2.4.2.O(m+n)

m

n

->m+n -> O(m+n)

若算法中有2种以上的数据规模时，此时不能简单替换，要保留所有的数据规模。

例：邻接表实现的图进行遍历时：O(V+E)，V表示顶点个数，E表示边长。

2.4.3.O(1)

100 -> O(1)

2.4.4.O(n^2)

n

n

->O(n^2)

2.4.5.O(logN)

若给定算法的数据规模为n,循环不断进行除法操作（与除以几无关），终止条件直到除数==1或==0，其时间复杂度为O(logN)。其逆过程也同理：*几。如：int i = 1; i < n; i = i + i。

注：

1).logN在算法分析中表示底数为2，对数为N。有些地方也写作lgN。

2).log以a为底的n=log以a为底的b（常数） * log以b为底的n。

-> log以a为底的n = log以b为底的n。

->与底数无关 -> O(logN)。

2.4.6.计算阶乘递归——O(n)

long factorial(int n){
    return n < 2 ? n : factorial(n - 1) * n;
}

2.4.7.斐波那契递归——O(2^n)

int fibonacci(int n){
    return n < 2 ? n : fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

2.4.8.O(根号n)

//求一个数是否是素数
private static boolean isPrime(int num){
     for(int x = 2; x * x <= num; x++){
         if(num % x == 0){
              return false;
         }
         return true;
     }
}

2.5.总结

3.空间复杂度

3.1.概念

是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

即一个算法需要的内存大小，当前算法解决问题开辟的辅助/额外空间大小。

3.2.大O渐进表示法

3.3.一般分两种

O(1)——没开辟额外空间。

O(n)——开辟了额外数组空间。

很少见O(n^2)，O(logn)不存在。

3.4.常见计算

3.4.1.冒泡排序——O(1)

3.4.2.斐波那契（迭代）——O(n)

int[] fibonacci(int n){
    long[] fibArray = new long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
    }
    return fibArray;
}

3.4.3.求阶乘（递归）——O(n)

递归的运行需要额外开辟空间，每进行一次递归，操作系统就在系统栈上开辟一次栈帧空间。

递归函数的空间复杂度取决于递归的深度（调用的次数），基本都是O(n)。

但斐波那契数列除外，递归法的时间/空间复杂度都是O(2^n),迭代法的空间复杂度是O(n)。