NP-Complete Problem

如题一：

Prove that the following problem is NP-complete: given an undirected graph G=(V, E) and an integer k, return a clique of size k as well as an independent set of size k, provided both exist.

给了一个无向图G=(V, E)，以及一个整数k，要求返回一个大小为k的团(与大小为k的独立集等价)

团和独立集是两个相对的概念，但根据书上公理可知，寻找k个元素的团和寻找k个元素的独立集是等价命题。

对于任意一个有k个clause的3SAT表达式，可以对每个clause构造一个三角形的子图，（共有k个三角形）

对于每个变量，两种相反的形式之间连一条边，如果能够找到k个元素的独立集，必然k个点分布在k个三角形，即选择了k个变量，使得表达式满足。验证满足性显然是快速的。

于是，当我们用多项式时间算法解决k独立集问题时，我们就一定有多项式时间算法解决3SAT问题，所以k独立集问题是NP-complete problem.

同理，k独立集的等价命题k-clique可以先转换成k-independent的问题，也是NP-complete的。

如题二：

STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.

STINGY SAT指的是给定一个团集合（每一个都是析取范式）和一个整数k，确定是否可以找到一个适宜的赋值使得至多k个变量都是正确的。证明STINGY SAT 是一个NP-complete问题。

首先，SAT问题也称为合取范式的可满足问题，一个合取范式形如：A1∧A2∧…∧An，子句Ai（1≤i≤n）形如：a1∨a2∨…∨ak，其中ai是某一布尔变量。SAT问题是指是否存在一组对所有布尔变量的赋值（TRUE或FALSE），使得整个合取范式取值为真。

对于{x1, x2, …, xn}这样一组满足上述要求的解，可以在多项式时间内验证其正确性的，因此STINGY SAT属于NP问题。

把SAT规约到STINGY SAT：

1. SAT是STINGY SAT的一个特例，假设SAT的函数为f，给定n个变量x1, x2, …, xn，最多有n个变量为真，那么(f, n)即可看成是STINGY SAT的实例。
2. 假设STINGY SAT的实例是(f, n)，那么(f, n)的一个真值指派，也一定是SAT函数f的一个真值指派，即f是SAT的实例

以上可把SAT规约到STINGY SAT，由于SAT是NP完全问题，我们可以吧STINGY SAT问题转换成一个SAT问题，所以STINGY SAT也是NP完全问题。