[模版]Tarjan算法求强连通分量

本文深入讲解了Tarjan算法,一种用于求解有向图中强连通分量的经典算法。文章详细介绍了Tarjan算法的基本原理,包括DFS遍历过程中的正常边、横叉边和返祖边的概念,以及如何通过维护dfn和low数组来识别并提取强连通分量。

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        今天,我们要探讨的就是——Tarjan算法。

       Tarjan算法的主要作用便是求一张无向图中的强连通分量,并且用它缩点,把原本一个杂乱无章的有向图转化为一张DAG(有向无环图),以便解决之后的问题。

       首先,我们在原图上跑一遍DFS,然后会发现三种边:

        1、正常边:嗯,顾名思义就是连接祖先和儿子节点的边。

        2、横叉边:连接到了已经弹出的节点的边(也能叫它小三边)。

        3、返祖边:从儿子节点连到祖先的边。

        那么通过进一步的观察我们可以发现:返祖边可能产生强连通分量,而横叉边不能。(如下图所示)

DFS遍历之后即为:

                      

        这时,我们发现上图出现了一种“大圈包小圈”的情况({1-5-6-8-9}和{5-6-8-5})那么我们应该如何处理才能做到当出现上图情况时只计算最大的那个强连通分量呢?

        我们可以开两个数组:

                dfn[i]:记录当遍历到节点i时是第几次dfs。

                low[i]:记录以i为根的子树中能够连接到当前栈中最小的dfn值(也就是最上面的节点)。

        然后每次取最小的low[i]就可以了。

Emmmmmmmmmmm,那就上代码吧。(Pascal党的福利哦)

var       
  vis:array[1..100000]of boolean;
  stack,dfn,low,head,next,vet,blong,belong:array[1..100000]of longint;
  tot,time,top,x,y,i,n,m,point:longint;
function min(a,b:longint):longint;
begin
  if a<b then exit(a) else exit(b);
end;
procedure add(x,y:longint);
begin                  
  inc(tot);
  next[tot]:=head[x];
  vet[tot]:=y;
  head[x]:=tot;
end;
procedure tarjan(u:longint);
var
  i,v:longint;
begin
  inc(time);
  dfn[u]:=time; low[u]:=time;
  inc(top);
  stack[top]:=u; vis[u]:=true;
  i:=head[u];
  while i<>0 do
  begin
    v:=vet[i];
    if vis[v] then low[u]:=min(dfn[v],low[u])
      else if dfn[v]=0 then
      begin
        tarjan(v);
        low[u]:=min(low[v],low[u]);
      end;
    i:=next[i];
  end;
  if dfn[u]=low[u] then
  begin
    inc(point); belong[u]:=point;
    while stack[top]<>u do
    begin
      belong[stack[top]]:=point;
      vis[stack[top]]:=false;
      dec(top);
    end;
    vis[u]:=false; dec(top)
  end;
end;
procedure shrink_point;
var
  u,i,v:longint;
begin
  for u:=1 to n do
  begin
    i:=head[u];
    while i<>0 do
    begin
      v:=vet[i];
      if belong[i]<>belong[v] then add(belong[u],belong[v]);
      i:=next[i];
    end;
  end;
end;
begin
  read(n,m);
  point:=n;
  for i:=1 to m do
  begin
    read(x,y);
    add(x,y);
  end;                                
  for i:=1 to n do
    if dfn[i]=0 then tarjan(i);
  shrink_point;
end.

 

<think>好的,用户想了解Tarjan算法强连通分量中的应用和实现。我之前已经回答过双连通分量的问题,现在需要转向强连通分量。先回顾一下用户提供的引用内容。引用1解释了Tarjan算法用于强连通分量的基本概念,强调是在有向图中使用DFS,通过树、堆栈和标记等方法。用户可能对算法流程和关键步骤感兴趣,比如dfn和low数组的作用,栈的使用等。 引用2提到了具体应用,比如受欢迎的牛的问题,如何通过强连通分量和出度判断结果。这里可能需要解释Tarjan算法的应用场景,特别是如何利用缩点后的图进行出度分析。 引用3给出了Tarjan算法的代码模板,包括递归处理节点、更新low值以及弹出栈形成强连通分量的过程。用户可能需要代码实现的具体解释,以及关键点如栈的维护和条件判断。用户现在的问题是查找Tarjan算法强连通分量中的实现和应用,所以需要将这三个引用中的信息整合起来,结合之前的回答结构,组织出清晰的解释。 首先,核心概念部分需要区分强连通分量与双连通分量的不同,强调有向图和无向图的区别。然后,算法原理部分要详细说明dfn和low的定义,以及栈的作用。关键判断条件中的low[u] ==dfn[u]是识别强连通分量根节点的关键点。代码实现部分需要展示并解释模板代码,可能要将引用3的C++代码转换为Python,并添加注释。应用场景部分可以举受欢迎的牛的问题,说明如何通过Tarjan找到强连通分量后处理出度,同时可以提到其他应用如编译器依赖分析。时间复杂度的分析需要强调线性时间O(V+E),这是Tarjan算法的优势。相关问题部分需要生成与强连通分量相关的问题,比如和Kosaraju算法的比较,如何处理缩点后的DAG,或者实际应用案例等。需要注意数学表达式的正确LaTeX格式,比如dfn[u]、low[u]等变量用$包裹。同时,引用标记要自然添加在相关内容末尾,如应用场景中的例子引用引用2。 最后,确保回答结构清晰,分点明确,代码示例正确,并且相关问题能够引导用户深入思考。需要检查是否有混淆强连通和双连通的地方,避免之前回答的双连通内容干扰当前的强连通主题。</think>### Tarjan算法强连通分量中的实现与应用 #### 核心概念 **强连通分量**(Strongly Connected Component,SCC)是指有向图中任意两个顶点互相可达的极大子图。Tarjan算法通过**DFS遍历**和**回溯值**(low值)机制高效检测SCC,其时间复杂度为线性$O(V+E)$[^1]。 #### 算法原理 1. **关键数据结构**: - $dfn[u]$:顶点$u$的DFS访问顺序 - $low[u]$:从$u$出发通过DFS树边或回边能到达的最小$dfn$值 - 栈:存储当前搜索路径上的顶点 2. **判定条件**: - 当$low[u] = dfn[u]$时,说明$u$是当前SCC的根节点,此时将栈中元素弹出直至$u$,形成一个SCC[^3] 3. **更新规则**: $$low[u] = \min\begin{cases} low[v] & \text{(子节点v未访问)} \\ dfn[v] & \text{(v在栈中)} \end{cases}$$ #### Python实现示例 ```python def tarjan(u): global index, scc_count dfn[u] = low[u] = index index += 1 stack.append(u) in_stack[u] = True for v in graph[u]: if dfn[v] == -1: # 未访问节点 tarjan(v) low[u] = min(low[u], low[v]) elif in_stack[v]: # 回边处理 low[u] = min(low[u], dfn[v]) if low[u] == dfn[u]: # SCC根节点检测 scc = [] while True: v = stack.pop() in_stack[v] = False scc.append(v) if v == u: break scc_list.append(scc) scc_count += 1 ``` #### 关键步骤解析 1. **初始化**:为每个顶点分配$dfn$和$low$值 2. **DFS遍历**:递归处理未访问邻接节点 3. **回边处理**:当遇到已在栈中的节点时更新$low$值 4. **SCC提取**:检测到$low[u]=dfn[u]$时,弹出栈中元素形成SCC #### 时间复杂度分析 - **$O(V+E)$**:每个顶点和边仅被访问一次 - 空间复杂度**$O(V)$**:DFS栈和辅助数组 #### 应用场景 1. **社交网络分析**:发现用户群体的紧密联系 2. **编译器优化**:检测代码中的循环依赖 3. **推荐系统**:识别商品/内容的相关群体 4. **交通规划**:分析城市间的强连通区域[^2] #### 典型案例:受欢迎的牛问题 给定$N$头牛的欢迎关系,被所有牛欢迎的牛的数量。通过Tarjan算法出SCC后: 1. 将每个SCC缩点形成DAG 2. 统计各缩点的出度 3. **唯一出度为0的缩点**包含答案(若存在多个出度0的缩点则无解)[^2] $$ \text{解存在条件} \iff \exists! \text{SCC}_i \text{满足} out\_degree[i]=0 $$
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