图的割点 图的割边 二分图

枯木逢春不再茂，年少且惜镜边人

这周准备完结阿哈算法，其中有一章的学习不是很熟练（总之学的慢，忘的快。哎，真的，学完得好好从背包开始复习了，等复习完了，准备进行更深层次的学习，也就是从做题中获取知识，淦！像那个男人一样（shy））

首先看看图的割点

割点就是在图中找个点去掉，他的儿子回不去祖先哪里，那么这个点满足割点

给组例子

6 7
1 4
1 3
4 2
3 2
2 5
2 6
5 6

图大概是这样

#include<stdio.h>
int n,m,e[9][9],root;
int num[9],low[9],flag[9],index;
int min(int a,int b)
{
	return a>b?b:a;
}


void dfs(int cur,int father)
{
	int child=0,i;
	
	index++;
	num[cur]=index;
	low[cur]=index;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(e[cur][i]==1)
		{
			if(num[i]==0)
			{
				child++;
				
				dfs(i,cur);
				
				low[cur]=min(low[cur],low[i]);
				
				if(cur!=root&&low[i]>=num[cur])
				flag[cur]=1;
				if(cur==root&&child==2)
				{
					flag[cur]=1;
				}
			}
			else if(i!=father)
			{
				low[cur]=min(num[i],low[cur]);
			}
			
		}
	}
}


int main()
{
	int i,j,x,y;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)
	 for(j=1;j<=n;j++)
	 e[i][j]=0;
	 
	 
	 for(i=1;i<=m;i++)
	 {
	 	scanf("%d %d",&x,&y);
	 	e[x][y]=1;
	 	e[y][x]=1;
	 }
	 
	 root=1;
	 dfs(1,root);
	 for(i=1;i<=n;i++)
	 {
	 	if(flag[i]==1)
	 	{
	 		printf("%d",i);
		 }
	 }
	 return 0;
 } 

运行结果大概是这样

那么简单的说一下，
这个dfs是怎么找呢
首先强调一下，他是通过避开他爸爸，去找路找他爷爷或者他爷爷的爷爷的…
对，是这样的，那么代码中是怎么实现去寻爷的呢
看下面

else if(i!=father)
			{
				low[cur]=min(num[i],low[cur]);

代码中可以看到这个吧
那这个呢就是避免了他碰到他爸爸，如果不是他爸爸，肯定是他爷爷或者…，那么就说明他可以不通过他爸爸回到他爷爷的身边，那么你就算他爸不管他，他爷爷也管他，不会饿死，相反 ， 当你走到5号顶点时，儿子就会失道寡助，不知道怎么办，只能面对爸爸的噩梦，因为他想找爷爷没门路，所以他爸爸要是不管他，他就饿死了，他就玩不了LOL，他就成为不了那个男人，他就不能成为世界冠军，他就…对不起，扯远了，那么下面继续讲解

那么这个到底是干什么的呢？

low[cur]=min(low[cur],low[i]);

这个就是既然儿子找到去爷爷的路了 ，爸爸肯定得尾随，然后…对不起又扯远了了（感觉好像儿子去网吧被逮住了一样）

然后呢
就是判断了
那么 怎么判断呢

if(cur!=root&&low[i]>=num[cur])
				flag[cur]=1;
				if(cur==root&&child==2)
				{
					flag[cur]=1;
				}

第一个if：如果他不是根节点那么他如果是割点的话，他儿子能找到的人只能是他爸爸，或者他哥哥，他姐姐，他表姐，他堂姐，他堂…，对不起又扯远了，不错，是不是觉得看起来长，哈哈哈哈，反着就是找不到他爷爷，当然他爷爷对应的值小，所以用大于等于弄，那么如果他是根节点(第二个 if)，一个爸爸，没有爷爷，他只有两个儿子
，这两个儿子谁都找不到爷爷，那么 嘿嘿嘿 就只能乖乖写作业了

如果他是两个结点，那么这个时候，你就会问：
咱两谁爹谁儿子啊？
答:你die===我儿子；

额 ， 这谁爹谁儿子都分不清

何来爷爷 额 我逻辑乱了到底谁爹谁儿子

好了，下来看看割边

其实只需要将

if(cur!=root&&low[i]>=num[cur])
				flag[cur]=1;

大于等于删除等于，那么就好了
为什么呢？
你想想大于等于是能回到爸爸身边，现在等于都没有了，你回不到爷爷身边，也回不到爸爸身边，那么只能去哥哥姐姐那里了，哎

具体代码如下

#include<stdio.h>
int n,m,e[9][9],root;
int num[9],low[9],flag[9],index;
int min(int a,int b)
{
	return a>b?b:a;
}


void dfs(int cur,int father)
{
	int child=0,i;
	
	index++;
	num[cur]=index;
	low[cur]=index;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(e[cur][i]==1)
		{
			if(num[i]==0)
			{
				child++;
				
				dfs(i,cur);
				
				low[cur]=min(low[cur],low[i]);
				
				if(low[i]>num[cur])
				printf("%d-%d\n",cur,i);
			
			}
			else if(i!=father)
			{
				low[cur]=min(num[i],low[cur]);
			}
			
			
		}
	}
}


int main()
{
	int i,j,x,y;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)
	 for(j=1;j<=n;j++)
	 e[i][j]=0;
	 
	 
	 for(i=1;i<=m;i++)
	 {
	 	scanf("%d %d",&x,&y);
	 	e[x][y]=1;
	 	e[y][x]=1;
	 }
	 
	 root=1;
	 dfs(1,root);
	 return 0;
 } 

当然特殊情况就是根节点了，大佬们肯定可以很强的

可以发现变了的只有这一块

for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(e[cur][i]==1)
		{
			if(num[i]==0)
			{
				child++;
				
				dfs(i,cur);
				
				low[cur]=min(low[cur],low[i]);
				
				if(low[i]>num[cur])
				printf("%d-%d\n",cur,i);
			
			}
			else if(i!=father)
			{
				low[cur]=min(num[i],low[cur]);
			}

只是去掉了根节点，为什么呢，因为根节点的话一个儿子，直接切，两个儿子，那么也是随便切，如果两个儿子不相互连接的话

下面看看 二分图最大匹配

二分图是无向图

#include<stdio.h>
int e[101][101];
int match[101];
int book[101];
int n,m;
int dfs(int u)
{
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(book[i]==0&&e[u][i]==1)
		{
			book[i]=1;
			if(match[i]==0||dfs(match[i]))
			{
				match[i]=u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}




int main()
{
	int i,j,t1,t2,sum=0;
	
	scanf("%d %d",&n,&m);
	
	
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d %d",&t1,&t2);
		
		e[t1][t2]=1;
	}
	
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		book[j]=0;
		if(dfs(i))
		{
			
			sum++;
			
		}
		
	}
	
	printf("%d",sum);
	
	return 0;
	
}

那么是怎么得到的这样的代码的呢？

首先介绍一下匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配

那么二分图又是什么？

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
简单的说，一个图被分成了两部分，相同的部分没有边，那这个图就是二分图，二分图是特殊的图。

看一组例子

3  5
1 1
1 2
2 2
2 3
3 1

那么这个图可匹配成这样

1 -1
2 -2
3- -----
或者
1-2
2-3
3-2

显然第二种更对一些那么是怎么得到的呢?

首先
3没有男伴
那么找1 1有了怎么办 ，踢了一号女生
1号女生又找2号男生 2号男生 踢了 2号女生 只能找3号女生 1号男生说算了 和2号女生做吧
3号于是顺利成章的吃到了天鹅肉

那么这个过程是怎么实现的呢？

int dfs(int u)
{
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(book[i]==0&&e[u][i]==1)
		{
			book[i]=1;
			if(match[i]==0||dfs(match[i]))
			{
				match[i]=u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

当然dfs是关键

if(match[i]==0||dfs(match[i]))
			{
				match[i]=u;
				return 1;
			}

这块是判断他是不是匹配过了，或者这个男的（i）的女伴可以找到另一个舞伴，那么这个男的就空出来 供u女伴 那么这样下来，就是最大匹配

好了 今天就到这里了 ，阿哈算法也算基本完了，掌握不牢固，前面留了好多问题，以后开始解决，那么java也就可以开始学习了，但是算法只是入门，还的继续努力。