poj 3233 Matrix Power Series（矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2019-08-30 15:09:12 发布

KinFungYu

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分类专栏：矩阵 poj 文章标签：矩阵快速幂

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本文介绍了一种通过矩阵快速幂方法求解矩阵幂级数S=A+A^2+...+A^k的问题，其中A为n×n矩阵，k为正整数。通过构造特殊矩阵B，并利用矩阵乘法和快速幂技巧，有效地解决了大规模计算问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Matrix Power Series

Time Limit: 3000MS		Memory Limit: 131072K
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Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

题意：给出矩阵A，求S = A + A² + A³ + … + A^k

分析：把问题转化以加速，令

B = A I （这里的1是单位矩阵）

0 I

则B^(k + 1) = A^(k + 1) I + A + A² + A³ + … + A^k

0 I

可以先用矩阵快速幂求B^(k + 1)，再求出S

AC代码：

#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <iostream>

using namespace std;
typedef struct node
{
    int m[65][65];
    void init()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
}matrix;
matrix ans,b;
int n,k,m;
void init()
{
    ans.init();
    b.init();
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        scanf("%d",&b.m[i][j]);
        b.m[i][j]%=m;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        b.m[i][n+i]=b.m[n+i][n+i]=1;     //在矩阵b中添加单位矩阵
        ans.m[i][i]=ans.m[n+i][n+i]=1;   //初始化ans为单位矩阵
    }
}
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
   matrix temp;
   temp.init();
   for(int i=0;i<n*2;i++)
   for(int j=0;j<n*2;j++)
   {
       for(int k=0;k<n*2;k++)
       temp.m[i][j]+=(a.m[i][k]*b.m[k][j])%m;
       temp.m[i][j]%=m;
   }
   return temp;
}
void solve()
{
    k++;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        ans=mul(ans,b);
        b=mul(b,b);
        k>>=1;
    }
}
void Output()  //输出时要减单位矩阵
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        if(i!=j) printf("%d ",ans.m[i][j+n]); 
        else printf("%d ",ans.m[i][j+n]-1);
    }
    printf("\n");
    }
}
int main()
{
   init();
   solve();
   Output();
   return 0;
}