BZOJ[3707]圈地旋转坐标系

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计算几何

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本文介绍了一种针对CF1019D Large Triangle问题的有效解法，通过预处理直线并排序，利用斜率变化特性进行优化，最终达到O(n^2)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门ber~

做CF 1019D Large Triangle看到的QwQ
首先你我都会的 $n^3$ 暴力肯定过不去(屁话)
那么考虑暴力过程，选的第三个点肯定是 离前两个点构成直线距离最近的点。。
换句话说，设枚举的前两个点是a,b，那么如果将直线a,b当作x轴，选的第三个点绝对满足纵坐标绝对值最小
具体的，将所有直线都预处理出来，并记录好这个直线是由哪两个点取出的，然后将他们按照斜率排序
然后从头开始依次处理每条直线
处理一条直线时调用系统sort将所有点按y坐标排好序，取出正负最小的两个点更新答案即可
时间复杂度 $O(n^3logn)$ ？？？
好像并不对

“考虑由两个相邻的斜率a变到b时，排序所得的序列只有a直线的两个点的顺序交换了下，其它点之间的顺序都没变。所以在枚举直线时，交换两点维护序列即可。”

时间复杂度 $O(n^2)$

代码如下(网上扒的，是按x坐标排的序)：

#include<algorithm>
#include<ctype.h>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define INF 2147483647
#define N 1020
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char c;
    do c=getchar(),f=c=='-'?-1:f; while(!isdigit(c));
    do x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar(); while(isdigit(c));
    return x*f;
}
double ans;
int n,x,y,tot;
int pre[N],pos[N];
struct Data{
    int x,y;
    Data(){}
    Data(int x,int y):x(x),y(y){}
    double operator ^ (Data b){return 1.0*x*b.y-1.0*y*b.x;}
}a[N];
struct Line{
    int x,y;double k;
    Line(){}
    Line(int x,int y,double k):x(x),y(y),k(k){}
}b[N*N];
inline double Slope(Data a,Data b){
    if(a.x==b.x) return a.y>b.y?-INF:INF;
    return 1.0*(a.y-b.y)/(a.x-b.x);
}
inline bool cmp(Data a,Data b){
    return a.x<b.x;
}
inline bool cmp1(Line a,Line b){
    return a.k<b.k;
}
inline double calc(Data a,Data b,Data c){
    return fabs((a^b)+(b^c)+(c^a))*0.5;
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i].x=read();a[i].y=read();
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            b[++tot]=Line(i,j,Slope(a[i],a[j]));
    sort(b+1,b+tot+1,cmp1);
    ans=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pos[i]=i;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        x=pos[b[i].x],y=pos[b[i].y];
        if(x>y) swap(x,y);
        if(x>1) ans=min(ans,calc(a[b[i].x],a[b[i].y],a[pre[x-1]]));
        if(y<n) ans=min(ans,calc(a[b[i].x],a[b[i].y],a[pre[y+1]]));
        swap(pos[b[i].x],pos[b[i].y]);
        swap(pre[x],pre[y]);
    }
    printf("%.2lf",ans);
    return 0;
}