最长递增子序列的求解（O(n*n)，O(nlogn)）——动态规划

该问题均使用动态规划来解决

1.在O(n*n)的复杂度下求解最长递增子序列

1） 描述最优子结构

序列中每个元素维护两个额外信息量，均假设当前元素（i）是 （0~i-1）个元素子序列中作为递增子序列的最后一个元素，则维护当前元素最后最后一个元素的递增子序列的长度，并维护该序列中当前元素的前一个元素。

如：
{1,5,6,7,3} 中，元素1 维护的信息量分别为：

（1）从0~0的子序列中，1作为最后一个元素的递增子序列的长度。即是 {1} ，记做len(0)

（2）该元素的前一个递增元素的下标，对第0号元素，初始前一个元素为-1（结束条件），记做 prev(0)

类似的，对元素 5 维护的信息量为：

（1） 2。以 5 作为最后一个元素的递增子序列的长度为2 ，即有 {1，5}

（2）0。即当前元素的前一个递增元素的下标：即值1的下标。所以为0

则对第 i 个元素，要直到以第 i 个元素为最后一个元素的最长递增子序列的长度，应该遍历 0 ~ i - 1 个元素，找到其中 val(k) < val(i) 且 len(k) 最大的 k值，将第 i 个元素接在第 k 个元素之后，形成一个新的以 i 个元素结尾的最长递增子序列

2）递归解

根据上述描述，得到如下的递归式子，对于第 i 个元素， val(i) 描述该元素的值，len(i) 描述以该元素为最后一个元素的最长递增子序列的长度的。prev(i) 表示该递增子序列的前一个元素的下标。则递归式如下：

len(i) =  max{len(j)}  +１, if j ∈（0, i - 1） 且 val( j ) < val( i )　。选中的元素的下标记