[洛谷][POI2007]ZAP-Queries-数论

最新推荐文章于 2021-08-23 20:52:08 发布

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#莫比乌斯反演 #数论

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本文介绍了一道关于莫比乌斯反演的模板题，详细解析了如何通过线性求μ来简化求解∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=d]的复杂度，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

~~水到了一道莫比乌斯反演的模板题，凯森QvQ~~

【题目地址】

题意简述

多组询问，每次给定 $n, m, d$ ，求下面式子的值：

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d]$

直接莫比乌斯反演，线性求 $\mu$ 就好啦，式子就变成下面的样子：

$\sum_{d=1}^n\mu(d)\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor$

分块求，每次 $O(\sqrt n)$ 就可以了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e5+10,MAX=50000;
ll prime[M],cnt;
ll mu[M];
bool vis[M];
ll n,m,d;
void init(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAX;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1,v;j<=cnt&&i*prime[j]<=MAX;j++){
			v=i*prime[j];
			vis[v]=1;
			if(!(i%prime[j])){
				break;
			}
			mu[v]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAX;i++)mu[i]+=mu[i-1];
}
ll solve(){
	if(n>m)swap(n,m);
	ll a=n/d,b=m/d,ans=0;
	for(ll i=1,j;i<=a;i=j+1){
		j=min(a/(a/i),b/(b/i));
		ans+=((mu[j]-mu[i-1])*(a/i)*(b/i));
	}
	return ans;
}
int T;
int main(){
	init();
	for(scanf("%d",&T);T--;){
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&d);
		printf("%lld\n",solve());
	}
	return 0;
}